Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
у:(х,у) *+ii = i[x,y]. (3.7.10)
Напомним, что, в силу инвариантности гамильтониана Н относительно
действия группы G = U("), момент д является сохраняющейся величиной.
Следуя работе [217] .возьмем в качестве д =с матрицу вида с=[сц\, Cjf=l-
bti. (3.7.11)
Как мы уже видели в разделе 3.3, ''момент количества движения" для
геодезических, которые проектируются в траектории системы типа I, имеет
как раз такой вид.
Отметим следующее важное свойство матрицы с: (п - 1) собственное значение
этой матрицы совпадает и равно (- 1), так что матрица с является сильно
вырожденной. Как следствие этого, преобразования из группы U(")
,оставляющие ее инвариантной,
Gc= (geU(n): gC g+=c) , (3.7.12)
образуют подгруппу Gc,изоморфную U(n - 1) X i/(l).
Действительно, как нетрудно видеть, условие (3.7.12) эквивалентно условию
g'e=Xe, (3.7.13)
где е - вектор вида е = (1,..., 1).
Теперь из (3.7.6), (3.7.10) следует, что матрицы х и у, определяющие
движение системы, не являются произвольными, а связаны соотношением
/[х,у] =с. (3.7.14)
149
Нетрудно видеть, что общее решение этого уравнения имеет вид x=gQ(q)g\
(3.7.15)
y=gL(q,p)g+, (3.7.16)
где
Q(q)= diagfai,... ,qn), (3.7.17)
[L(q, P)\jk = Р/8/fc + *(1 - 8/k) (?/ - flfc)'1. (3.7.18)
qit . . . , qn - различные действительные числа, а матрица# ? Gc, т.е.
удовлетворяет (3.7.13).
Для доказательства этого утверждения заметим прежде всего, что с помощью
преобразования из группы Gc можно привести матрицу Ъ к диагональному виду
(см. например, [25]).
Действительно, пусть х =gQg + , где Q - диагональная матрица и# ? ? U(n).
Тогда мы имеем
[Q,g+yg] = g+cg= g+(e(r)e-I)g=f(r)f-I, f=g+e. (3.7.19)
Поскольку Q диагональна, мы должны иметь //// = 1 - Полагая # =
gF,
где F = diag(/i /") - это унитарная матрица, мы видим, что g ? Gc
ux=gQg + .
Далее, из (3.7.15) и (3.7.16) и того факта, что# ? Gc, следует [Q(q),L(q,
Р)] = - g+ [х,у] g = - ig+cg = - ic. (3.7.20)
Отсюда сразу же получаем выражение (3.7.18) для L (q, р).
Заметим еще, что вся эта конструкция проходит и для бесследовых матриц,
что приводит к дополнительным ограничениям
2 <7/ = 0, 2 pj = 0.
В качестве следствия из доказанного выше утверждения получаем, что
факторпространство ip~l(c)/Gc является 2л-мерным многообразием и
параметризуется координатами (дг,... ,qn), (pi,..., р"). При этом паре
матриц (х, у) ? I(с) сопоставляется пара (Q(q) , L (q, р)) (3.7.17),
(3.7.18), а симплектическая структура (3.7.3) переходит в стандартную
симплектическую структуру
со = ti(dL(q,p) FdQ(q))= 2 dp,- Л dqj. (3.7.21)
/ = 1
В результате мы редуцировали симплектическое пространство (Т*Х° , со) к
симплектическому многообразию {(q, р), со } :
(*.>0 -+(Q(q),L(q.P)) = ("+xu, и+уи). (3.7.22)
При этом гамильтониан Н переходит в гамильтониан системы Калод-жеро
#=- try2->-tf=- tr L2 (q, р) = - Xpf + 2 (qj - qk)~2, (3.7.23)
2 2 2 у )<к
а функции Fk = - tr ук, F2 = Н, очевидно, находящиеся в инволюции, к
150
переходят в функции Ik = - tr Lk, т.е. в интегралы движения системы с
к '
гамильтонианом (3.7.23). Из явного же решения (3.7.6) уравнений движения
в пространстве Т*Х° сразу вытекает результат раздела 3.3, что величины qj
(г) являются собственными значениями матрицы
*(r)=<2(0) + L(0)r. (3.7.24)
Отметим еще один полезный факт: отображение
(^ЛО + С-У,*) (3.7.25)
симплектично и оставляет инвариантным многообразие iр-1(с). Отсюда
следует, что существует матрица и ? Gc такая, что
(v+Q(q) v, v+L(q, р) и) = {-Щ, rj), 2(?)). (3.7.26)
(Отсюда следует, в частности, что все (3.7.26) собственные значения
матрицы L(q,p) различны.)
Это отображение переводит гамильтониан й tr L2(q, р) в
Н= - tr (22(?) =- 2 ?/• (3.7.27)
2 2 / = 1
Уравнения движения становятся при этом линейными:
5/ = О, Ч/ = -5/. (3.7.28)
Б. Отображение рассеяния [252]. Ранее уже отмечалось, что в модели типа I
частицы отталкиваются друг от друга, и потому при t~* + 00 мы имеем
следующее асимптотическое поведение:
4/(0 ~ Pit + qj, Pj(0 ~ pj. (3.7.29)
где все величины pj различны.
Из явного вида (3.7.18) матрицы L (q, р) следует, что величины pj
являются собственными значениями матрицы L (q, р). Поэтому мы можем
отождествить величины в (3.7.26) с асимптотическими импульсами pj.
Аналогично из (3.7.26) следует
"(г)-1 Q(q(ty v(t) = - щ, Г? - 50 = к- 5,- Г? + 50. (3.7.30)
Из теории возмущений следует, что собственные значения матрицы
Z, (- ?, - tj + ?г) ведут себя асимптотически как ?/Г - rj;- +
О (г-1),
откуда qj = - qj, и мы получаем
$jt-T)j, г ->¦ + (3.7.31)
Р/(0~?/ + О(г-1),
Итак, формулы (3.7.26) задают отображение рассеяния, ставящее в
соответствие начальным данным <7° и р/ асимптотические величины %j и
- т?/-
Аналогичные формулы имеют место и при г -* - 00:
9/(0 ~ ?/ t - Vj , (3.7.32)
t - ОО V '
Pj(t)~$f,
151
В силу инвариантности системы относительно обращения времени t -*¦ t, х
~*х, у -*¦- у мы получаем
- % п -к +1 > Vk ~ Vn-k +1 > (3.7.33)
т.е. что рассеяние здесь такое же, как в системе упруго сталкивающихся
