Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Y= t/_1exp(20 U, Z± = U~lL±U, (3.5.32)
где матрица U - это матрица, являющаяся решением дифференциального
уравнения
U(t)=MU(t) (3.5.33)
с начальным условием U(t = 0) = /.
(3.5.34)
143
Теперь для матриц Y и Zt получаем дифференциальные уравнения Z± = -4aY2,
Y=2Z+Y=2YZ~ (3.5.35)
Эти уравнения можно проинтегрировать тем же способом, который
был использован в работе [108] для потенциала w(x) = exp (2л:).
Именно,
из уравнений (3.5.35) следует, что
d /1 + Л
- Z Z~ + aY ) = 0, (3.5.36)
dt
откуда получаем
1 .
- Z+Z 2
1
+ aY2 = - L%L0 + а ехр(4б0) = ^о-2
(3.5.37)
Здесь индекс 0 означает, что значения матрицы берутся при г = 0.
Теперь, подставляя в (3.5.37) выражение для а У(r) из (3.5.35) и используя
тот факт, что 2С = ? + - L~ и U~l CU=C (что следует из [М, С] = = 0),
получаем матричное уравнение Риккати
2(Z~)2 -Z- = 4W0 -4CZ- (3.5.38)
Это уравнение можно линеаризовать с помощью подстановки
1
Z ~ =
РР-
(3.5.39)
где матрица P(t) является обратимой матрицей порядка л Хп. А именно,
получаем
P=SW0P + 4CP, (3.5.40)
или, в блочных обозначениях,
~ d\P
Р= ---- I .
dt L Р
0 I р
ОО о ¦ Р -
W0P.
(3.5.41)
Заметим, что имеется произвол в выборе начальной матрицы Р(0), поскольку
уравнение (3.5.38) должно удовлетворять лишь одному начальному условию
Z~(0) = Lq . Удобно выбрать Р(0) = /, так что Р{0) = = - 2?5",и тогда
решение уравнения (3.5.41) имеет вид
Pit) ¦
. Hr) . = exp
0
8^
I
4 С
I
-2Lo
(3.5.42)
Таким образом, величины ехр(4^;- (г)) можно найти как собственные
значения матрицы
1
1
U ехр(40 U= Y2(t) =------------Z~(i) = ---
4а
8а dt
[ДОР-1 (Г)], (3.5.43)
где матрицыР(г) иР(г) находятся из уравнения (3.5.42).
Дальнейший анализ рассматриваемой системы для случая а > 0 (случай а < 0
рассматривается аналогично) аналогичен анализу работы [108] и дает
следующие результаты.
144
Асимптотические значения импульсов рк (± °°) частиц являются интегралами
движения. При этом
\=Pk(.+ °°) = -Pk(-°°), X, <Х2 <...<Х"<0, (3.5.44)
а асимптотика q/ (г), рк (г) имеет вид (при г -*± °°)
?/<0 = ± V + "/* +0(r'1), pfc(r) = ±Xfc + 0(Г2), (3.5.45)
т.е. асимптотически частицы ведут себя как свободные.
В рассматриваемом случае имеются две матрицы, подвергающиеся
изоспектральной деформации. Это
1 2
W=-L+L +аехр(40,
для которой W= [М, W], и матрица
О /
W =
8 W AC J
удовлетворющая уравнению
М О
W=[M,W], М-Величины
1
О М
Ik = - tr(h'k), к= 1,... ,п, к
(3.5.46)
(3.5.47)
(3.5.48)
(3.5.49)
(3.5.50)
представляют п функционально независимых интегралов движения, и нетрудно
показать, что все они находятся в инволюции.
3 j6. Интегрирование уравнений движения для систем с двумя типами частиц
Простая замена переменных, предложенная в [133], позволяет получить
некоторое обобщение систем типа И. Пусть
q,^ql+i~ Тогда потенциал
0<rti </<л.
U(q) = g2a2 2 sh'2 [a(q/ - ?fc)] к <;
(3.6.1)
(3.6.2)
перейдет в потенциал U(q) = *V 2
sh'2 [д(р,--?,)]-?V 2 ch'2 [a(qi - qj)\.
/ < Л, < i
Эта система содержит гц частиц одного знака ил2 =п - nt частиц
противоположного. Каждая пара частиц противоположного знака притягивается
с потенциалом - g2a2ch-2 [а(д/ - ?*)]. В то же время частицы одного знака
отталкиваются с потенциалом g a2sh~2 [д(<7/ - Qk) ] ¦ Очевидно, что все
предыдущие результаты, касающиеся систем типа И, остаются справедливыми
после замены (3.6.1). В частности, величины ехр[2а<?/ (г)] являются
собственными значениями матрицы
Однако эта формула не позволяет явно ответить на важный вопрос:
существуют ли связанные состояния (или, иными словами, финитные движения)
в системе с потенциалом (3.6.3) ? Ответ на него дан в [257].
Отметим сначала, что формула (3.6.4) уже не определяет геодезическую в
пространстве эрмитовых положительно определенных матриц, как это было для
систем типа II. Оказывается, что системам (3.6.3) отвечает пространство
ХПх >П} эрмитовых матриц сигнатуры (nlt л2), а формула (3-6.4)
определяет, (при условии замены (3.6.1)) геодезическую в этом
пространстве. Таким образом, ответ на вопрос о связанных состояниях
сводится к выяснению характера поведения геодезических в пространстве Хп
Для того чтобы связанные состояния существовали, очевидно, необходимо,
чтобы существовали геодезические, целиком лежащие в ограниченной области
пространства X"t г"2 (геодезические, не уходящие на бесконечность).
Множество различных классов геодезических пространств X"t г"2 больше, чем
у пространства Xй, отвечающего системам типа II, и соответственно
динамика систем с потенциалом (3.6.3) богаче динамики систем с
потенциалом (3.6.2).
Рассмотрим систему с одной степенью свободы. В этом случае вместо
пространства можно рассмотреть однополостный гиперболоид
(х: х2 =х% - х2 - х\ = - 1) . Легко показать, что энергия свободной
частицы в сферических координатах
x0 = sh<7, х 1 = chcos (?, х2 = ch sin (? (3.6.5)
после исключения циклической координаты <р приводится к виду
Так как гиперболоид однороден относительно гиперболических вращений, то
