Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
это требует отдельного доказательства, Поскольку мы не знаем
представления Лакса для них.
Один из способов доказательства полной интегрируемости гамильтоновой
системы с потенциалом (3.8.2), связанным с системой корней R, состоит в
следующем. Рассмотрим некомпактное симметрическое пространство Х~ с
ограниченной системой корней R (такое пространство всегда существует, но,
вообще говоря, не единственно, см., например, [36]). Анализируя семейство
операторов Лапласа на Х~, можно показать [96], что соответствующая
квантовая система, и, следовательно, также классическая система, является
вполне интегрируемой. Это верно, однако, лишь для соответствующих
значений констант gJ в приведенных в работе [96].
157
А. Представление Лакса. Пусть G, К - риманова симметрическая пара, где G
- вещественная полупростая группа Ли, а К - подгруппа в G, выделяемая в
ней инволюцией Картана. Пусть & и Л"- алгебры Ли групп G и К,и
$=JC + 9> (3.9.1)
- соответствующее разложение Картана. Пусть А - подалгебра Картана в 3°,
R - соответствующая ограниченная система корней и R+- множество
положительных корней. Нам удобно выбрать корневые векторы так, что 6Еа =-
Еа, где в - автоморфизм Картана, связанный с разложением (3.9.1). Пусть
Я,, . . . , Нп, п = д\т.А- ортогональный базис в А относительно формы
Киллинга. С его помощью мы можем отождествить А с конфигурационным
пространством/?": q= Y,qjHj. Положим Ча = (Я> л) и определим
P='LPjH], Х= 2 x{qa){Ea+E_a),
"еЛ+ (3.9.2)
Г = 2 y(qa)(Ea-E_a).
а ел +
Заметим, что Р лежит в А, Хв 9>,а Y -в ЯГ.
Предложение 1 [256]. Пусть *(?) - нечетная функция
и у(?) = *'(?). Предположим, что существует элемент D ? X
такой, что
[D,A\= 0 (3.9.3)
и
[X,D+Y]eA. (3.9.4)
Тогда уравнение Лакса L = [L,M\ с
L=P + X,M = D+Y (3.9.5)
эквивалентно уравнению движения с гамильтонианом
Я=^ 2 pf + 2 glv(qa), (3.9.6)
2 / = 1 а е R +
где и(?)=х2(?) и g\ =(Ea,E_a).
Заметим, что для пары Лакса (9.3.5) I ? ?,а М ? X.
Ясно также,
что любое линейное представление алгебры Ли $ превращает эту
пару
Лакса в матричнозначную пару Лакса.
Пара Лакса такого типа для случая G = SL{n, С), /T = SU("), приводящая к
системам типа Ап_ i, уже была описана. Перейдем теперь к рассмотрению
систем типа ВС".
Соответствующая симметрическая пара - это G = SU(h + 1, п), К = = SU(h +
1) X SU(h) X U(l). Группа Ли SU(h+1,h) состоит из линейных
преобразований, которые оставляют инвариантными эрмитову форму
*1 + 2 + • • • + Zn Z2n + 1 + Z" + ! Zn + J . (3.9.7)
Обозначим через J матрицу этой формы. Тогда алгебра Ли rS = = SU(" + 1,
п) состоит из матриц, удовлетворяющих условию
XJ + JX* = 0, (3.9.8)
/ ' A Cl Bi
x = \ -c2 s -c,
\ 4 B2 Cl -A+
которые можно записать в блочных обозначениях как
(33.9)
где А, В,, В2 - матрицы порядка п,В\ = -Вх, В% = -В2, С| и С2 - векторы,
s - число, Re(s) = 0. Инволюция Картана задается формулой вх = - х*, и мы
выбираем подалгебру Картана в как алгебру диагональных матриц вида Q =
diagfai,..., q", 0, -?i,..., -q"). При этом справедливо следующее
Предложение 2 [255]. Гамильтоновы системы IВСп -VBCn вполне интегрируемы
при выполнении следующих условий:
00 gt =?0, ?i +y/2g2g- 2^ =0;
/¦"ч n (3.9.10)
(б) g 1 = 0, g и g2 - произвольны.
Матрицы L и М имеют следующий вид:
L=P + X, М = D + Y, (3.9.11)
где
/>=diag[pI,:..,p",0,-Pi,:..,-p"],
D = diag[dl,:..,dn,d0,di,...,dn], (3-91 }
а матрицы X и Y даются формулами
At Cl Я, \
Х= С, 0 -С, I, (3.9.13)
-cl -aJ Cl в2 \
Y= -С2 0 -С г ), (3.9.14)
Cl А2 J
где
{Ai)kl = ig(l-8kl)x(qk-q,),
{Bi)k, = i[\j2g2bklx{2qk)+g{\-bk,)x(qk +?,)],
{Ci }ki = igtx(qk),
{A2)kl = ig( 1 -bk,)y(qk - qi),
{B2)k, = i[y/2g2Sk,y(2qk)+g(l-bkt)y{qk +<7,)],
{C2)k = igt(qk),
dk = i(c-ek), d0=i(c-e0),
П _
ek= g 2 [z(qk -qs) + z(qk +qs)] +g lg% z(qk) + s/2.g2z{2qk),
5=1 П
e0=2g 2 z(qs), c =
" 1
2 es + - *= 1 2
S=1 2n + 1
Здесь у(?)=*'ф и z($)=x"($)/2x($).
159
Мы уже отмечали, что систему типа ВСп (для g2 = gj = 2gi) можно
рассматривать как инвариантную часть системы А2п на подмногообразии qk =
-q~k, Рк ~ -Р-к> к = ~п> • ¦ •. +п- Неудивительно поэтому, что пара Лакса
(3.9.11) для этого частного случая совпадает с парой (3.1.6) -
(3.1.7).
Доказательство полной интегрируемости для систем I ВСп - IV ВСп
аналогично доказательству для систем \Ап _, - IV_ , (см. раздел. 3.2).
Интегрируемость для систем типа УВСп получается из доказательства для
систем типа IВСп с помощью того же приема, который был использован для
систем типа А"_ , в работе [262].
Отметим, что, как показано в работах [238] и [208], полная
интегрируемость имеет место для класса потенциалов, более широкого, чем
(3.8.7) , а именно для потенциалов вида
U(q\,.. ,q")= 2 [V(q,-qk)+V(q, + qk)] + 2 W(qj) , (3.9.15)
j <k i=i
где пара функций (K(?), 1V(?)) дается формулами
v(a)=g2r\ w(a)=g2r2 +gh2 +g23a* +gn\ (3.9.16)
Щ) =g2a2 sh~2(a?), W(?) = gj sh~2(a?) +?2 sh~2(2a?) +
+ g3 ch(2a%) +g% ch(4a?), (3.9.17)
где постоянные gj, gj, g\ и gj произвольны;
