Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
SlS*-...-?)"-1. (4.1.27)
которая полностью характеризует рассматриваемую цепочку Тоды.
Отметим еще, что матрица С]к, называемая матрицей Картана, также
определяется схемой Дынкина:
С/к ~ (а/j ал)> Iа/1 - (о/j а/) = 2. (4.1.28)
В общем случае любой простой алгебре Ли соответствует интегрируемая
система типа Тоды,как будет объяснено в разделе 4.5.
2. Анализ уравнений движения. Перейдем теперь к рассмотрению следствий
из представления Лакса (4.1.3). Из него сразу же получаем
L(t) = u(t)L(0)u~1 (г), (4.1.29)
где и (г) - ортогональная матрица, являющаяся решением уравнения
й = -Ми, ы(0) = /, М= - йи~1 =и~1й. (4.1.30)
Из (4.1:29) сразу же следует, что величины
Ik = k-ltr(Lk), h =Н, к = 2,... ,п (4.1.31)
являются интегралами движения.
В ряде случаев, однако, бывает удобно использовать другой набор
интегралов движения { Зк} , к = 2, . . . , п. Эти величины определяются
уравнением
Д(А) = det(A/- /,) = П (X - Xfc) = Z (- \)кЭк\п~к. (4.1.32)
к к
174
Докажем теперь, следуя Мозеру [252], что в непериодическом случае для
произвольных начальных-условий
я*(О-*0 при г->-±°°, к = 1,..., (и - 1). (4.1.33)
Это означает, что расстояние между любыми двумя частицами неограниченно
возрастает :
Itffc+iW-tffcWI-*00 при г-*±оо, к= 1,...,(и- 1). (4.1.34)
Для доказательства этого утверждения рассмотрим уравнение (4.1.26) : bj =
- 2aj. (4.1.35)
Из него следует, что величина b/(t) является монотонно убывающей функцией
времени. С другой стороны, эта величина ограничена в силу ограниченности
и положительной определенности кинетической энергии 1
Т - - Cjkbjbk. Поэтому bj (г) , а следовательно, и величины рк (г) имеют
определенный предел при t -*± °°. Отсюда следует, что
f af(t)dt< °°, (4.1.36)
- оо
а также что
ау(г)-*- 0 при t (4.1.37)
Действительно, если неравенство (4.1.36) выполнено, а величина dj (г) не
стремится к нулю при г -*¦ ± °°, то существует последовательность I tk |
-"¦ °° такая, что ay (rfc) > е > 0. Это, в свою очередь, с учетом
ограниченности производной hj, что следует из (4.1.26), приводит к
нарушению неравенства (4.1.36).
Таким образом, при t -*¦ ± °° матрица L в (4.1.4) становится диагональной
:
L{t) ~ diag(pt> • • • ,Рп)>
*"+°° (4.1.38)
L(t) ~ diag(pi ,... ,р"),
X -> -оо
В силу же условия изоспектральной деформации (4.1.29) величины pj (или же
pf) и являются собственными значениями Х;- этой матрицы. Так как
взаимодействие в цепочке Тоды является отталкивающим, то асимптотические
импульсы pf, так же как и pf, должны быть различными. Можно показать
также чисто алгебраически (см. например, [166]), что при выполнении
условия ау > 0 величины \j являются вещественными и различными, так что
можно считать, что
Xj <Х2 С. ,.<Х". (4.1.39)
Теперь из условия (4.1.37) следует, что
Pjit)~pf ПРИ t->±°°, (4.1.40)
175
т.е. в процессе эволюции системы на интервале времени (- °°, + °°)
происходит перестановка импульсов
Pj =V Pf=xn+i-i- (4.1.41>
Асимптотическое же поведение величин qj (г) имеет вид
<7/(0~ Pft + qf при (4.1.42)
Итак, величины Xj = pj являются интегралами движения. Отметим, что из
асимптотического поведения L (г) (4.1.38) следует, что эти величины
находятся в инволюции {Х;-, Хк) = 0. Нетрудно видеть также, что они
функционально независимы. Таким образом, непериодическая цепочка Тоды
является вполне интегрируемой гамильтоновой системой.
Переменные Xj можно выбрать в качестве переменных действия для
рассматриваемой системы. Для нахождения сопряженных к ним переменных Tj
типа угла в работе Мозера [252] был указан следующий рецепт.
Определим функцию f (X) формулой
ЛХ) = Л""(Х), R(X)=(XI~Ly1, (4.1.43)
где I - единичная матрица. Разлагая/(X) на простейшие дроби, получаем
" Л
/(*)=? ~-Г-, (4.1.44)
1 Х-Хк
здесь
(4.1.45)
u(fc) ujk\ • • • , - собственный вектор матрицы/,,
Lu(*) = XtuW, (ц(*>, и<*>)=1, "(*>>0. (4.1.46)
Из (4.1.43) и (4.1.44) следует, в частности, что
Ъг\= 1, (4.1.47)
1
так что лишь п - 1 величин гк являются независимыми.
Величины гк являются функциями от pj и qk, и их можно рассматривать как
параметры на многообразии уровней интегралов движения. Оказывается, что
они весьма просто зависят от времени, а отображение, переводящее
переменные pj,qkB переменные Xj,rk в области
Xj < Х2 < .. .< Х", Z rf = 1, Tj> 0, (4.1.48)
1
является взаимно однозначным с точностью до общего сдвига величин qj.
На этом пути Мозером [252], а также другим способом Кацем и ван Мербеке
[214] было показано, что величины Р) и exp<fy являются рациональными
функциями величин Xj и ехрХЛ/.
Для нахождения дифференциального уравнения для величин ту (/)
воспользуемся уравнением
й (*) = -Ми^. (4.1.49)
176
Отсюда получаем
rk = ?(*) = = ап_! ы<*2! • (4.1.50)
С другой стороны, из уравнения
Z,u(*> = X*u<*> (4.1.51)
следует
Ьп=Ьпп=Ъ\кг1 (4.1.52)
1
В результате получаем систему уравнений
у/
;* = (Xfc_ZX,r?)rfc> Х,< Х2< ...<Х", (4.1.53)
/
Гк = ^кГк= > и = -'Е\кг2к, (4.1.54)
которая эквивалентна линеинои системе Ъи 1
^^к'к
