Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
функция переменных q г и q2.
Приведем сначала хорошо известные результаты.
1. Линейный по импульсам интеграл f существует тогда и только тогда,
когда U = f (тх + пу), где тип - целые числа, f - 2 я-периодическая
функция
2. Квадратичный по импульсам интеграл /2 существует-тогда и только
тогда, когда
где т{, щ - целые числа, тлт2 = - пхп2, г функции fj 2тг-периодичны. При
этом
и аналогично
h(v) = (v - kcj2/2)(c + о(1))
f(u>1/2 + T)=f(u>1/2 - г), те [0,ел/2], h (co2/2 + t) = h (co2/2 - r),
re[0, co2/2];
(2.3.57)
H=- (p2 +pl)+ U(qi,q2) 2
(2.3.58)
U = f(mx + ny).
(2.3.59)
U=fi(mlx + nly)+ f2(m2x + n2y),
(2.3.60)
h =(Ti +r2)p2 +4Pip2 (/*! +r2)pl +
В работе [72] показано, что для рассматриваемых систем интегралов третьей
и четвертой степени по импульсам, функционально независимых от интегралов
низших степеней, не существует.
А именно, были доказаны следующие теоремы.
Теорема 2.3.4. Для рассматриваемого случая кубический по импульсам
интеграл /3 существует тогда и только тогда, когда реализуется случай 1,
т.е. существует линейный по импульсам интеграл 7). При этом /3 = aIiH+
bl\, где а и Ъ - константы.
Теорема 2.3.5. Интеграл четвертой степени по импульсам /4 существует
тогда и только тогда, когда реализуется случай 2, т.е. существует
квадратичный по импульсам интеграл /2 и при этом
U=all+bhH+cH2.
Замечание. Результаты теорем 2.3.4 и 2.3.5, по-видимому, сохраняют силу и
для случая полиномиального интеграла любой степени по импульсам, т.е.,по-
видимому, случаи 1 и 2 исчерпывают все случаи дополнительных интегралов,
полиномиальных по импульсам.
В случае поверхности рода g > 1 существуют топологические и
геометрические препятствия для интегрируемости геодезических потоков.
Пусть Sg - связная, компактная ориентируемая поверхность,
Н(р, q.) = Г(р, q) + Ufa) (2.3.62)
вещественно-аналитическая функция на кОкасательном расслоении T*Sg,
T(p,q) - квадратичная форма по импульсам р.
Теорема 2.3.6. [21]. Если род поверхности Sg больше 1, т.е. Sg не
гомеоморфна сфере S2 или тору Г2, то рассматриваемая система не имеет
интеграла движения, аналитического на T*Sg и функционально независимого
от интеграла энергии.
Замечание [21].В бесконечно дифференцируемом случае теорема 2.3.6, вообще
говоря, не справедлива: для любой гладкой поверхности Sg можно указать
''натуральный" гамильтониан
H=T(p,q)+Ufa) (2.3.63)
такой, что система имеет дополнительный бесконечно дифференцируемый
интеграл, независимый (точнее, не всюду зависимый) от функции Н.
Доказательство этого утверждения см. в обзоре [21], где также детально
рассмотрен вопрос о неинтегрируемости в классической механике.
Отметим, что теорема 2.3.6 остается справедливой и для случая неориен-
тируемых компактных поверхностей, если дополнительно исключить
проективную плоскость Р и бутылку Клейна К.
Приведем еще один результат (см. [2]).
Теорема 2.3.7. [С. Болотин, Д. Абраров]. ПустьМ2" - связное, компактное
ориентируемое 2и-мерное многообразие. Если гамильтонова
Р2
натуральная система (т.е. система вида Н = ------+ Ufa)) на кокасатель-
2
ном расслоении Т*М имеет к > п = (dimM)/2 независимых линейных интегралов
в инволюции, то эйлерова характеристика М неотрицательна: х(М) > 0.
100
Следствие2.3.8. Пусть dimM = 2. Если натуральная система имеет линейный
по скорости интеграл движения, то М диффеоморфно сфере или тору. В
неориентируемом случае надо добавить проективную плоскость Р и бутылку
Клейна К.
В заключение этого раздела отметим, что чрезвычайно сложный характер
поведения геодезических на компактных поверхностях отрицательной кривизны
был установлен Адамаром еще в 1898 г. [189].
Е. Случай трех степеней свободы. Этот случай бьщ полностью разобран в
работе Даль-Аква [156] на основе метода Леви-Чивиты. Оказалось, что здесь
разделение переменных имеет место для метрик следующих четырех типов
(индекс / у функции указывает, что эта функция зависит лишь от переменной
<jy).:
Приведем еще несколько примеров интегрируемых гамильтоновых систем с
тремя степенями свободы, для которых гамильтониан имеет вид
Приведем взятую из работы [162] таблицу известных интегрируемых случаев.
Ж. Общий случай. Исследование проблемы разделения переменных было
продолжено в работах Бургатти [129] и Даль-Аквы [157]. Ими было показано,
что в случае и степеней свободы существует (и + 1) тип мет'рик (или, что
эквивалентно, кинетических энергий), которые допускают разделение
переменных.
Явный вид этих метрик для случая и степеней свободы был найден в работе
Хаваса в 1975 г. [194,195].
Перейдем к изложению результатов этих работ. Рассмотрим уравнение
Гамильтона-Якоби
1. ds2 = 2 (а,ак + bfbk + cfck)dqj dqk.
i, к
(2.3.64)
2.ds2 = {a3 + 2/ie3 + l2lb3)dq\ + (m2a3 +2 m2e3 + b3)dq2 +
+ dqI + 2(m2a3 +lib3 + (1 + hm2)e3)dqi dq2 +
+ 2(c3 + m2d3)dq2dq3 +2(JiC3 +d3)dqx dq3.
(2.3.65)
3. ds2 = --[(/i +ci -f2)dq\ +(m22 + Cj - f2)dq\ +
Cl -f 2
+ dq\ + 21im2dqi dq2 + 2m2dq2 dq3 + 2lx dq3 dqx ].
(2.3.66)
