Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
2 + /3(у - Зтх) + 7(у - тх)(у - 9тх).
79
'('-тО
8. U = ----:-- + --------~
/ m \2/3 / т \2/3
{уУТх) \уУТх)
4{у~Ух) ~КуУТх)
+ у
(у*
9. U = а у 3/2 + (1ху 3/2 +ух.
m у
* )
3 )
г3'
у
10. U = а[ у - ^х )+ /Зх 1/2 + ух У2(у - рх) .
1 1 1
Потенциал Холта. В работе [202] для системы с Н= ~(Рi +Рг) +
+ i/(<71,) был получен следующий новый интегрируемый потенциал: */
=q!2l\cq22 +q\ +6), с = 3/4. (2.2.49)
В этом случае дополнительный интеграл движения имеет вид
/ = /3 = 2р\ + Зр! pi + 3px(-3ql + 2q,2 + 26)р22/3 + 18р2 <?1 ^/3.
(2.2.50)
Потенциал Фокаса - Лагерсгрема. Еще один случай с дополнительным
интегралом движения, кубичным по импульсам, был обнаружен в работе [173].
В этом случае
?/(<71, Ы = (<7? -Я1Г2'3, (2-2.51)
/ = /з =(P?-pl)(<7iP2-<72Pi)-4(p2p1+<71p2)(<712- q2)~2/3. (2.2.52)
Потенциалы, связанные с лаксовым представлением. Несколько важных
многочастичных систем, которые подробно рассматриваются в следующей
главе, в частном случае сводятся к системам с двумя степенями свободы,
обладающим дополнительным интегралом движения, кубичным по импульсам.
Рассмотрим, например, систему трех взаимодействующих частиц на прямой с
потенциальной энергией,
?/(<71,<7г,<7з)= H<7i -<7з) + и(<72 -<7з) + К<7з -<7i)], (2.2.53)
где
(1) и(х) = а2 ^(ах), 3>(х) - функция Вейерштрасса [133];
(2) и(х) =g2 ехр(-х). Это так называемая цепочка Тоды [298,299].
В обоих случаях интеграл движения кубичен по импульсам и имеет вид
/=/3 =pi р2р3 -Piv(q2 -q3)-p2v(q3 -<?,) - p3v(qi - q2).
(2.2.54)
ял
Относительно интегрирования системы (1) см. работу [85], а относительно
интегрирования системы (2) см. работы [214, 215].
В. Интегралы четвертой степени по импульсам. Перейдем теперь к
рассмотрению интегралов четвертой степени по импульсам.
J. Потенциал кубический. Возьмем систему с кубическим потенциалом
вида
U = a(cqi +<7? q2), (2.2.55)
детальное изучение которой началось в работе [197]. Отметим прежде всего,
что из приведенных выше формул (2.2.41) и (2-2.33) следует, что при с =
1/3 и с = 2 такая система допускает квадратичный интеграл движения и
интегрируется методом разделения переменных.
Еще один интегрируемый случай (уже нетривиальный) был найден независимо в
работах [183] и [191]. Это случай с с = 16/3. Интеграл движения здесь
имеет вид
1=14 =Р\ + 4aq\q2p\ - 4aq\ рх р2/3 - 4а2 q} ql /3 - 2аг q$ /9.
(2.2.55')
В работах [185] и [200] было найдено интегрируемое обобщение этого
потенциала
16 а
U = -q2+q\q2 + - (q\ + \6ql ) + mqx2 + nq^6 (2.256)
с дополнительным интегралом движения
/ = /4 =Pi4-+ (2д<7? +Aqlq2 + 4mq?'+ 4nql6) р\ -
- 4<7? Pi p2 /3 - 4aq*q2 /3 - 4qfq2 /3 + 8mq2 /3 + Snq2 q? -
- 2qf 19 + a2q* + 4(an + m2)q^ + Smnq^s + 4n2qi12 . (2.2.57)
2. Потенциал четвертой степени. Рассмотрим потенциал четвертой степени
вида
и = Aq\+Bql q\ + Cqt. (2258)
Отметим прежде всего уже указанные выше случаи разделения переменных для
этой системы:
(1) В - 0, уравнения разделяются в переменных qx и q2;
(2) В = 6А, С - А: система разделяется в координатах (fl\ + q2) и (<7i -
q2);
(3) В = 2А, С = А: система разделяется в координатах г и ^, q\ = =
rcosip, q2 = г sin <р;
(4) В = 12А, С = 16А: система разделяется в параболических координатах (г
+ qx) и (г ).
Последний случай допускает интегрируемое обобщение U = a(q\ + 12 q\q\ +
16 q\) + b(q\ +4 q2) +
+ cqi6(q\ +4 <72) + w<7f2 + • (2.2.59)
Отметим, что если параметр п = 0, то система допускает квадратичный
интеграл движения вида
I = h =(<7iP2 -QiPiYPi + f(Q), (22.60)
но если п Ф 0, то квадратичного интеграла нет, а есть лишь интеграл
четвертой степени. Он имеет вид [186]
I = h = 1\ + п [2q\q?р\ + \6(aq\ + cqrf*)]. (2.2.61)
(5) Известен еще один интегрируемый потенциал четвертой степени по
импульсам, который допускает дополнительный интеграл движения степени по
импульсам [184,270],
U = q\ +6qUl +%qi- (2.2.62)
Здесь
/ = /4 =р\ +4(<7? +6q\ql)Pi - l6qfq2PiP2 +4q\pl +
+ 4 q\ + 16 q\q\ + 16^1^2- (2.2.63)
Известны два интегрируемых обобщения этого потенциала. Это случаи
(а) е = 0 [185]
и
(6) п = 1-0 [200] для U(qltq2)BHm
U = q\ +6q\q\ +8q2 + к(д\ + 4q2) + mq{2'+ nq^'+ lq22 +eq2. (2.2.64) Здесь
/ = p\ + 4p\(q\ + 6q\q\ + fa?? + + nqf6 + e<?2) -
- (16<7f +4e<71)p1p2 +4<7i<72 + 4m2 q^ + 8m<72 + 16т</1 +
+ 4k2q\ + 8kq\ + 16Ar<7? <7! + 4<7? + \6q\q\ + 16<7i<72 +
+ e(Smqi2'q2 - 2eq\ - 8q\q2 - \6q\q\ - 8kq2q2)+ 8lq\q22 +
+ n(8mqis + 4nqi12 + 8kqi4 + 8 qi2 + 48q^ql). (2.2.65)
3. Потенциал типа Холта. В работах [185] и [199] было показано,
что потенциал
U = + <7з^ (22.66)
является интегрируемым и допускает дополнительный интеграл четвертой
степени по импульсам
/ = /4=^4. (22.67)
Интегрируемое обобщение этого потенциала было указано в работах [185]
82
и [200.]. Именно,
U = Qi2/3(^q\ + ql + d^+mq]/3 + nq22 + a(9q\ + 4q2), (2.2.68)
I = U =Pi + 2p\p\ +(16 aql + 4nq22)p2i+24q\/3'q2pip2 +
+ 4p2(qi2/3(ql + d) + mq2/3 +a(9q\ + 4q\ ) + nq22) + 16 mq\ +
+ 32adql2t3q\ + Sdnqi2/3q22 + 8nql2>3 + 32am<7i/3<72 + 8mnq\/3q22 +
