Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
96
Тогда система (2.3.42) сводится к следующим уравнениям (i > / или i </):
ЪТ ЪТ Ъ2Т ЪТ ЪТ Ъ2Т
bpj Ърк Ъдj Ъд k dp j- Ъд k Ъд^Ърк
, ЪТ ЪТ Ъ2Т ЪТ ЪТ Ъ2Т
= 0, (2.3.44)
ЪЯ] Ърк Ър-]Ъцк Ъдj Ъдк bpjbpk
ЪТ ЪТ ъ2и ЪТ ъ2т ъи ЪТ ъ2т ъи
Ърj Ърк Ъд,-Ъдк Ърf bgj Ърк Ъдк Ърк Ъдк Ър-, Ъд}
Ъ2Т { ЪТ ъи ЪТ ъи }
= О, (2.3.45)
Ър/Ърк: \ Ъд, Ъдк Ъдк Ъд,- j
ъ2т ъи ъи
= 0. (2.3.46)
Ър,-Ърк Ъд,- Ъдк
Отметим, что уравнения (2.3.44) содержат лишь кинетическую энергию Т и
выражают условие интегрируемости уравнений для геодезических в римановом
пространстве с метрикой
ds2 = 2 g,-k dg] dgk. (2.3.47)
/" к
Здесь gjk(gь ..., д") - матрица, обратная матрице а,-к.
Г. Случай двух степеней свободы. В работе [281] Штеккель рассмотрел
случайп = 2 и обнаружил три типа таких метрик.
1. Если обе величины
ЪТ / ЪТ ЪТ 1ЪТ
Pi = - / -- и р2 = -- / ~- (2.3.48)
ogi I Ър 1 Ъд 2 j Ър2
являются полиломами по р\ и р2 , то
ds2 =dg\ + 2cos(Xi +X2)dgг dg2 +dgl, X,- = X(g,-). (2.3.49)
Система допускает два линейных по р,- интеграла движения.
2. Лишь одна из величин (2.3.48) является полиномом по рi и р2. Тогда
система допускает линейный по импульсу интеграл вида
Xi(gi) Pi или Х2(дг)Рг- (2.3.50)
Следовательно, система обладает циклической координатой дх или д2 и
интегрируется в квадратурах.
3. Обе величины (2.3.48) не являются полиномами по pj. Тогда величина д12
= 0, и этот случай сводится к случаю Лиувилля, рассмотренному в п. ^4 :
ds2 = {с ite 1) + с2 (Р2)) (dg\ + dg\). (2.3.51)
Следует иметь в виду, что в работе Леви-Чивиты [236] и в ряде последующих
работ глобальные (топологические) свойства конфигурационного пространства
не были рассмотрены, так что полученные результаты относятся лишь к
простейшему случаю, когда конфигурационным простран-
4. А.М. Переломов 97
ством является вся двумерная плоскость (или же некоторая односвязная
область этой плоскости).
Д. Геодезические потоки на поверхности. Описание метрик на поверхности
рода 0, т.е. поверхности, топологически эквивалентной двумерной сфере,
допускающих линейные и квадратичные интегралы движения, было дано в
работе Дарбу [46] и работе [82]. При этом метрика типа (2.3.49) на сфере
отсутствует.
Описание интегрируемых метрик на торе (поверхности рода 1) дано в работе
[82]. Итак, рассмотрим движение по геодезической в фиксированной метрике
#,-,- на ориентируемой поверхности Sg рода# (т.е. поверхности с #
ручками) - геодезический поток на Sg. В. простейших случаях g = О, S0 -
сфера,# = 1, Si - тор. Напомним,что эйлерова характеристика х поверхности
Sg равна х = (2 - 2g) ¦
Мы имеем гамильтонову систему с двумя степенями свободы и гамильтонианом
Н = -gl'(q)PiPf, /,/=1,2, (2.3.52)
где#1-' - матрица, обратная матрице #,-у. Поэтому вопрос об
интегрируемости такой системы сводится к вопросу о существовании
дополнительного интеграла движения, функционально независимого от Н.
Напомним прежде всего, что любая метрика на поверхности Sg после перехода
к так называемым изотермическим координатам х и у принимает вид
ds2 =а(х,у) (dx2 +dy2) (2.3.53)
и, следовательно,
Н =~ (Р2х+Р2у). (2.3.54)
2а
Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением метрик и гамильтонианов
такого вида. Если ограничиться случаем дополнительного интеграла
движения, полиномиально зависящего от импульсов, то для случая сферы So
можно описать все такие метрики (или, что эквивалентно, гамильтонианы) .
Теорема 2.3.3. [82]. Метрика класса С2 на сфере, геодезический поток
которой имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл,
функционально независимый от интеграла энергии, в некоторых
изотермических координатах z=x + iy, заданных на сфере с одной выколотой
точкой, имеет один из двух видов:
(а) a(x,y)=f(x2 +у2), (2.3.55)
где f - такая положительная функция класса С2, что/(?) = (с + о(1))/? при
? -+оо; такие геодезические потоки допускают линейный по импульсам
интеграл движения
(б) aix,y), **<¦.("¦>"
I 4z +#2z+#3 j
где #2 - 27#з Ф 0. При этом и и и - вещественная и мнимая части преоб-98
разования w(z) = 3° "1 (z), где 9>(w) - функция Вейерштрасса: 3°(w) = =
&(w\g2, g3) с периодами coi и ш2. где coi и со2 вещественны, а / и h -
такие функции класса С2, что:
при и -+ксо2/2 для любого фиксированного целого к, с > 0;
(2) значения функций / и h на отрезках [cpi/2, coi], [ы2/2, со2]
определяются через их значения на отрезках [0, Wi/2], [0, <ю2/2] по
формулам
(3) / и А периодичны с периодами из1 и со2 соответственно (ясно, что
при таких / и И значение f(u(z)) + И (v(z)) не зависит от выбора значения
многозначной функции З6-1 (z)).
Обратно, положительная функция а(х, у): [R2 ->-CR, имеющая один из двух
указанных видов, задает метрику на сфере S2, геодезический поток которой
имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, независимый от
интеграла энергии.
Вопрос о существовании полиномиальных по импульсам интегралов движения
для натуральной гамильтоновой системы
на двумерном торе рассматривался в работе [72].
Здесь U(ql, q2) - потенциальная энергия системы - 2тг-периодическая
