Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Б. Системы Штеккеля. Эти системы были открыты Штеккелем в 1891 г. (см.
[282-286] ). Гамильтониан таких систем имеет вид
Штеккелем была доказана
Теорема 2.3.1. Система с Я вида (2.3.21) допускает разделение переменных
в уравнении Гамильтона - Якоби (2.3.12) тогда и только тогда, когда
существует матрица В порядка п, элемент bjk которой зависит лишь от qk,
причем выполнены следующие условия:
Я = - (й!р\ + a2pl) + U(qltq2),
(2.3.20)
Л
Я = 2 af(qi,... ,q") ~ р2. + Uf(qf) . 1=1 2
/= 1
(2.3.21)
det.8 Ф 0, 2 bjk(qk)ak(qu . .. ,q") = Sfl.
к
(2.3.22)
Обозначим через А матрицу, обратную к матрице В. Тогда
йк ~ ак1-
С помощью матрицы А образуем величины
(2.3.23)
h = 2fl// ~ Р) + u№i) > h=H.
(2.3.24)
93
Утверждение. Величины It являются интегралами движения и находятся в
инволюции.
Доказательство. Вычисляя скобки Пуассона величин 1к и /;, получаем
. I d°si Ъа.к \ (1 \
{/*,/,} = Z[ark arl ------------ )pr(-pi + Ut). (2.3.25)
r, A bqr bqr / \2 /
С другой стороны, дифференцируя по qr тождество
2 bjs(Qs)asm (*71 > • • • > *7п) - &jm > (2.3.26)
получаем
2 */,(?,) -- + -- я,* = 0, (2.3.27)
1 bqr dqr
За.i Ъ bjr
Zbis(qs) -~ + -arl = 0. (2.3.27')
j Э?,. d qr
Исключая из (2.3.27) и (2.3.27') величину dbjr/dqr, приходим к
соотношению
2 bJ агк -^ - аг1 -±- ) = 0. (2.3.28)
s \ dqr д qr /
Наконец, умножая (2.3.28) на ат!- и суммируя по /, получаем (суммирования
по индексу г нет)
агк^--аг1^)= 0, (2.3.29)
bqr bqr /
откуда и следует равенство (2.3.25) .
Приведем еще более сильный вариант теоремы Штеккеля.
Теорема 2.3.2. [261]. Для гамильтоновой системы с//вида (2.3.21)
следующие утверждения эквивалентны:
(1) -уравнения Гамильтона - Якоби (2.3.12) допускают разделение
переменных;
(2) существует матрица В порядка и с определителем det В ф 0, элемент bfk
которой зависит лишь от qk, причем выполнены условия (2.3.22);
(3) .существует и квадратичных по импульсам функционально независимых
интегралов движения вида (2.3.24).
Итак, для систем Штеккеля существует и квадратичных по импульсам,
ортогональных*) интегралов движения (2.3.24). Это позволяет свести
интегрирование уравнений движения к квадратурам. Действительно, из
*) Термин ''ортогональный" означает отсутствие в величине I слагаемых
вида afkPfPk'!*k-
94
равенств
?аи
2
Р) + и,щ
~ai
сразу же следует, что
1 . 1 /bWV
Р;2 + Ujiqj) = 2 akbkj(qf) = - ( -- ) + Uj(qj).
(2.3.30)
(2.3.31)
2 •' к '• 2 4 3?,/
Таким образом, уравнение Гамильтона - Якоби (2.3.12) для рассматриваемого
случая допускает разделение переменных
W(qi,... ,q") = ;2 Wf(qf), (2.3.32)
/= i
и функция Wj(qj) дается формулой
1Гу(р/) = / V 2 ( 2 ukbkj(qj) - Uj(qj))dq,-.
к
(2.3.33)
Согласно стандартной процедуре интегрирования уравнения Гамильтона -
Якоби величины <fy(f, а!,.. ., а") находятся из уравнений
b 1/ dqj
2 / -______________________________
/= 1 х/2 (2 <****,(?,) - ?/,(?/))
к
= Л
(2.3.34)
*// dqj
2 /- _________________________
/= 1 V2( Hakbkj(qj) - Uj(qj))
к
= 01, 1 = 2,... ,п.
Отметим, что в случае финитного движения это движение, вообще говоря,
будет уже не периодическим, а лишь условно периодическим (см. [23]). Если
Ду и bj - точки остановки, определяемые условием обращения в нуль функции
fjiflj) (2.3.33), то периоды движения системы определяются матрицей
">kf = /
Ь> bkj(qj)dqj
, fj(qj)='S [akbkj(qf)] - Uj(qf).
(2.3.35)
ai n/27/0?/)
Отметим еще, что система Лиувилля является частным случаем системы
Штеккеля. Именно, система Лиувилля получается, если матрица В имеет вид
Ci/fli с2/а2 ... с"/а" \
1/а 1 -1/дг ... 0
1/а 1
• • • -1 /а" J
(2.3.36)
95
В. Общий случай разделения переменных. Теорема Штеккеля полностью
решает вопрос о разделении переменных для систем с гамильтонианами вида
(2.3.21).
Вопрос о разделении переменных для гамильтоновых систем общего вида был
рассмотрен в работе Леви-Чивита в 1904 г. [236].
Следуя этой работе, рассмотрим уравнение Гамильтона - Якоби
(2.3.12)
и предположим, что функция W(qi,.. . , q") имеет вид
W{qu • • • , Чп) = 2 Wf(qf). (2.3.37)
/
Тогда величина
Ъ W Ъ W,
<2-3-38)
д qj bqj
зависит лишь от переменной q/. Дифференцируя уравнение (2.3.12) по qj, с
учетом этого обстоятельства, получаем
ЪН ЪН Ър,
-~ + -- = °, (2.3.39)
ОЦ] °Pj aq/
или
Ър, ЪН I ЪН
= -Р/ = - - / - • (2.3.40)
Ъqi Ъqj| Ър]
Отсюда следует, что при i Ф j
Ъ Ъ / ЪН I ЪН \
- Р/ = -- ( ^^- )= 0. (2.3.41)
bqt Ъqi \ Ъqj [ Ър} /
Таким образом, мы приходим к следующему критерию: уравнение Гамильтона -
Якоби (2.3.12) интегрируемо методом разделения переменных, если функция
Н(ду, рк) удовлетворяет и (и - 1)/2 уравнениям (г > / или г < /)
ЪН ЪН Ъ2Н ЪН ЪН Ъ2Н
ЪР) Ърк ЪqjЪqk Ъру bqk ЪqjЪpk
ЪН ЪН Ъ2Н ЪН ЪН Ъ2Н
------------- -------- +------------------------ = 0 (2 3 421
Ъq| Ърк Ър^к Ъqj Ъqk Ър,-Ърк
Систему (2.3.42) едва ли представляется возможным исследовать в столь
общем виде.
Рассмотрим важный случай, когда
H=T+U, Т = - Б ajk(q)pjPk, U = U(qu ... . ,q"). (2.3.43)
l 1, к
