Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
вполне интегрируемой (т.е. в принципе может быть сведена к квадратурам).
Таким образом, основная проблема состоит в нахождении дополнитель- . ного
интеграла движения. Приведем ряд примеров систем с двумя степенями
свободы, обладающих дополнительным интегралом движения.
А. Движение частицы единичной массы на плоскости (q\, q2) в
потенциальном поле U(t71, <72 ): Гамильтониан рассматриваемой задачи
имеет вид
H=H2+U, Н2 = +р|)> (2.2.1)
Конфигурационным пространством рассматриваемой системы является двумерная
плоскость [q : q = {qx, q2)}, на которой транзитивно действует группа Е
(2) - группа движений двумерной евклидовой плоскости. Группа Е (2)
порождается трансляциями
Та: q^-q + a и вращениями
(<7i,<72)^(<7i cosv>+ q2 sintp, -qr simp + q2 cosy).
Действие этой группы распространяется естественно и на фазовое прост-
*) Это следствие было первоначально доказано как самостоятельная теорема
для частного случая движения одной частицы в работе [209], а затем для
общего случая в [239].
73
ранство{<7, р } согласно формулам
Та: р^-р; Rу. (pi,p2)^(PiCOs<p + P2sm<p,-plsiny + p2cosy).
Алгебра Ли этой группы (относительно стандартных скобок Пуассона)
порождается величинами
рх, р2 и l = (qiP2 -PiQ2), (2.2.2.)
[PiJ)= Р2, {PiJ)=-Pi, {Pi,P2>=0. (2.2.3)
1 - 2
Рассмотрим сначала гамильтониан свободной частицы Н2 = "(Pi +Рг )•
Очевидно, что он инвариантен относительно группы Е (2).
В силу инвариантности гамильтониана Н2 величины Рх ,р2тл1 являются
интегралами движения *):
(Pi,tf2}= {р2,Н2}={1,Н2} = 0. (2.2.4)
Потребуем теперь, чтобы не только Н2, но и полный гамильтониан Н был
инвариантен относительно фщопараметрической подгруппы группы Е (2),
порождаемой элементом
al + b2Pi - bx р2. (2.25)
Рассмотрим отдельно два случая.
1. аФ 0.
Тогда величина (2.2.5) генерирует бесконечно малый поворот вокруг вектора
с = (ct, с2) = a_1(6i, b2). (2.2.6)
Следовательно, величина (2.2.5) будет интегралом движения, если
, Яг) имеет вид
tf(<7) = tf(lq-c|). (2.2.7)
2. а = 0.
В этом случае величина Ъ2Р\ -Ьгр2 генерирует бесконечно малую трансляцию
в направлении вектора ф2, -Ъ t).
Следовательно, эта величина будет интегралом движения, если
U(qi,q2) = U(biq\+b2q2). (2.2.8)
Подчеркнем еще раз, что линейный по импульсу интеграл движения существует
лишь в случаях 1 и 2. Нетрудно видеть, что в соответствующей системе
отсчета потенциал U{qi,q2) не зависит от одной из координат (или, как
говорят, одна из координат является циклической). В случае 1 в полярной
системе координат с центром в точке с координата у - циклическая.
Перейдем к рассмотрению систем с двумя степенями свободы, обладающих
квадратичным интегралом движения. Опять рассмотрим сначала случай
свободного движения: Н = Н2. Тогда наиболее общий интеграл
*) Нетрудно доказать, что это единственные интегралы движения, линейные
по импульсам р, и р2.
74
движения, однородный и квадратичный по импульсам, имеет вид
I2 = al2 + 61 Ipi + b2 lp2 + cx! pi + 2ci2pi p2 + c22p2 , (2.2.9)
где a, bj, Cjk - константы.
Заметим, что действие группы Е (2) в пространстве величин I, Р\ и р2
дается формулами:
при повороте Ry вокруг начала координат на угол у
/->/; pi -*Pi cosip + р2 sin ip, p2 -> -pi sin у + p2 cosip; (2.2.10)
при трансляции Ta на вектор а = (ai,a2)
l^l + aip2 -а2ри Pi~*Pi, Pi^P2- (2.2.11)
Это действие индуцирует действие группы Е (2) в шестимерном пространстве
$2 квадратичных величин с базисом
I2, 1Р\, 1Рг, Р\\ Р\Рг,Рг • (2.2.12)
Действие группы, однако, не транзитивно, так что относительно него
пространство $2 расслаивается на орбиты. Так, например, гамильтониан Н2
инвариантен относительно действия Е (2) , т.е. представляет нульмерную
орбиту в
Естественно считать все величины 12, отвечающие одной орбите,
эквивалентными. Таким образом, число существенно различных квадратичных
интегралов движения равно числу типов орбит группы Е (2) в пространстве
82.
Оказывается, что в данном случае существует 4 типа орбит (см. [24]) :
I. аФ 0, С;/Ф0, 12 =а(12 - с2 pl) + с'(р1 + р2); (2.2.13)
II. аФ 0, с,у = 0, I2 =al2 +с'(р2 +р2)\ (2.2.14)
III. в = 0, Ъ\ +Ь22 Ф0, 12 =Ыр2 +c'(p2i +pj); (2.2.15)
IV. а = 0, bx=b2= 0, I2 =cpl + с\р2 +pl). (2.2.16)
Заметим, что поскольку величина (р2 + pi) является инвариантом,
коэффициент с' мы можем считать равным нулю; кроме того, коэффициент а
для систем типа I и II, b - для системы III и с - для системы IV можно
считать произвольным числом.
Теперь потребуем, чтобы и для полного гамильтониана Н = Н2 + U
существовал интеграл движения вида / = /2 + V, где U и V - величины
нулевой степени по импульсам. Условие {Я, I} =0 при этом сводится к
условию
[Н2, V) ={I2,U), (22.17)
которое эквивалентно системе дифференциальных уравнений в частных
производных для функций U(q) и V(q).
Так, в случае I, полагая а = 1/2 и с = 0, получаем следующую систему:
Э V / ъи ъи
Исключая из системы (2.2.18) функцию V{q), получаем уравнение для функции
U(q) :
/Э2 и Э2и\ , 2 ъ2и
* з(" " 12.) = 0. (2-2.19)
