Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Ковалевской) дополнительный интеграл движения линеен или квадратичен по
импульсам (или динамическим переменным). С этим обстоятельством связана
возможность интегрирования уравнений движения методом разделения
переменных (см. следующий раздел). В случае С. Ковалевской приходится
использовать более сложный метод (см. [224]).
В настоящее время известны системы (помимо системы Гарнье и системы С.
Ковалевской), для которых дополнительный интеграл движения имеет более
высокую степень по импульсам. Приведем два примера таких систем. Это
системы трех взаимодействующих частиц на прямой с потенциальной энергией
U(xu х2, х3) = [u(xt -x2) + v(x2 -х3) + и(х3 -X!)], (2.2.125)
где
6) v(x)=g2 &(х), (2.2.126) &(х) - функция Вейерштрасса, и
l)v(x)=g2ex. (2.2.127)
Это - так называемая система Тоды [298, 299].
В обоих случаях интеграл движения кубичен по импульсам и имеет вид
1 = Р\РгРг -P\v(x2 -x3)-p2v(x3 -xi)-p3v(xi - х2). (2.2.128)
Относительно интегрирования системы 6) см. работу [85], а относительно
системы 7) см. [214].
(2.2.122)
(2.2.123)
(2.2.124)
90
2.3. Разделение переменных
Метод разделения переменных является одним из основных методов
интегрирования уравнений движения динамических систем. Он позволяет
свести интегрирование для случая многих степеней свободы к интегрированию
последовательности одномерных задач.
Проблема разделения переменных в уравнениях механики интенсивно
исследовалась в прошлом веке и начале нашего века. Здесь мы ограничимся
наиболее важными случаями.
А. Системы Лиувилля. Такие системы были впервые рассмотрены Лиувиллем
в 1849 г. [240]. Это системы, для которых
H=T+U, (2.3.1.)
а кинетическая энергия Т и потенциальная энергия U имеют вид
1 " <7/ 1 " 2 -
Г = - С 2 -!- = 2 a,pt, (2.3.2)
2 / = 1 af 2С / = 1 ' ' к
U = - 2 Uj, С = 2 С}. (2.3.3)
С / = 1 / = 1
Здесь функции ау, Су и Uj зависят лишь от переменной qj.
Для этих систем
(2-3-4)
и, как нетрудно проверить, величины
7/ = \ аiP* + ui - Hch / = 1,2,... ,/2, (2.3.5)
являются интегралами движения.
Отметим, что из них лишь (п - 1) величин являются независимыми, поскольку
2 = 0. (2.3.6)
/ = 1
Таким образом, с учетом гамильтониана Я мы имеем п квадратичных
интегралов движения. Очевидно, что все эти величины находятся в
инволюции,
{//,/*>= о,
и, следовательно, рассматриваемые системы являются вполне интегрируемыми.
Уравнения движения можно проинтегрировать, например, следующим способом.
Из равенств
/у = а,- = const (2.3.7)
нетрудно получить систему дифференциальных уравнений для величин #у:
dqs dt
- = ---------------------Г > /=1,...,я. (2.3.8)
\/2ду(ау + Ecj - Uj) Mfli,.. ., q")
91
Переходя к новому (''локальному") времени г согласно формуле dt
dr = --------------- , (2.3.9)
C{q\ ,q")
приходим к системе dq,-
------------- - = dr. (2.3.10)
у/2 aj(<Xj + Ecj - Uj)
Отсюда с помощью квадратур можно найти qj = //(г). После этого мы можем
выразить г через t, используя квадратуру
t = / C(qi(r'),.. . ,q"(r'))dr'. (2.3.11)
Таким образом, решение задачи свелось к решению последовательности
одномерных задач, в чем и заключается метод разделения переменных.
Отметим, что часто бывает удобнее применять метод разделения переменных к
уравнению Гамильтона - Якоби:
bW
H(phqk) = E, р,- = -- , W = W{qu q"\ a"). (2.3.12)
dqj
Это значит, что мы интересуемся решением вида
W^'LWfiqj). (2.3.12')
Однако подробнее на этом Останавливаться не будем (см. [23]).
Заметим, что системы с двумя степенями свободы типа I-IV, рассмотренные в
предыдущем разделе, после перехода соответственно к эллиптическим,
полярным, параболическим и декартовым координатам*) принимают вид систем
Лиувилля (см., например, [23]):
1 1 !• ? = ~ (г 1 + r2), V = - (г2 -гг),
r\ = I q - с |, г2 = | q + с |, с = (с, 0);
Т = № - с2)р\ + (-с2 -р2)Рц 1 v = У1Ш + и2 (т?)
(2.3.13)
2(?-v2) ' %2-г?
2-с2) (с2- р2) (23Л4)
/= 2-+
(С2 -v'mw-G2 -c2)U2(v)
+
Л2 - v2
И. г = | q |, 0=arctg (g2/ql)-, (2.3.15)
Т = ^ (P2r+r-2p2e), U = Ui(r)+r~2 U2(Q), I = ^ р2е + U2(9).
** 2
(2.3.16)
*) Отметим, что полярные, параболические и декартовы координаты являются
предельными случаями эллиптических координат.
92
1
1
III. k = - (Г+qi), 17 = - (r-q 1);
(2.3.17)
(SpI+vpZ) Ui(?) + U2(rf)
(2.3.18)
= Zn(Pt-Pn) + T?t7i(S)-gt72(r?)
2(|+r?) 1+17
IV. Г = i (p? + pl), U=U1(ql) + U2(q2),
/ = Л = ^ Pi + t^i(<7i).
I+17
(2.3.19)
В работе Морера [249] было доказано обратное утверждение: динамические
системы вида
интегрируемые методом разделения переменных, имеют вид систем Лиувилля.
Относительно качественного поведения траекторий систем Ли увил л я см.
работу Адамара [190].
Таким образом, вопрос об интегрируемости систем типа (2.3.20) методом
разделения переменных полностью решен.
Однако при переходе к большему числу степеней свободы ситуация
усложняется. Именно, существуют системы, интегрируемые методом разделения
переменных, которые не сводятся к системам Лиувилля. Рассмотрим еще один
тип таких систем.
