Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 40

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 88 >> Следующая

случае
2 7'=(ci2(<7i,<72) + Сз(<7з))_1(а1(<7ь qi)p\ +e2(<7i, <72)р! +Д3(?з)Рз),
(2.4.12)
а дополнительный интеграл движения имеет вид
27) = (ci2(qiq2') + с3(д3У) (c3(aip\ +а2р2) - С\2аър\). (2.4.13)
Мы не будем приводить здесь остальных результатов ди Пирро, посколь-
*) Под ортогональным интегралом мы понимаем интеграл, не содержащий
слагаемых вида dfjPfPj, i Ф /. Заметим, что существуют также системы,
обладающие квадратичными, но неортогональными интегралами. Примером такой
системы является система с Я вида
н=\ (р' +р^) + лт<?; + хг9г + (q\ +q\f.
104
ку они были значительно обобщены Пенлеве [260], к изложению работы
которого мы переходим.
В. Система с п степенями свободы. Гамильтониан рассматриваемой системы
имеет вид
, 1
Н=- 2 ajk(q,,..., qn)PjPk + U(q i,, qn),
(2.4.14)
однако на него накладываются дальнейшие ограничения.
Представим число п в виде суммы г положительных целых чисел
п = i +/+... + / + m (2.4.15)
и соответственно разобьем координаты qt,... , qn на г групп (Я\ • ¦ ¦ яд,
(<7i+1 • - • Qi +/). • • •
Пусть
Z>i(qi. . .qhqi.. . qt),. f2(Qi+i ••• Qi +/, Qi +i ---<7,•+/),• • •
(2.4.16)
- произвольные функции от переменных в соответствующей группе,
квадратичные по этим переменным.
Построим матрицу В порядка г:
b\(q!...qd bl(qi+1... qi+j) ... b'r(...Q")
В-
(2.4.17)
b\(Qi,..Qd br2 (Qi+1. .. qi + }) ... brr(...q")
Пусть A = [aap\ (a, 0 = 1 ,...,/¦) - матрица, обратная к матрице В, и
Я = Я, = 2 ObdSa + Ubto)),
" (2.4.18)
Ui = U(qi,. . . ,qd, U2 = U2(qi+1,. .. ,qi+j),. . .
Тогда построенная гамильтонова система допускает г квадратичных
интегралов движения Нр (включая гамильтониан), имеющих вид
Щ = 2 яа(3(^ + ?/а(<?)); 0=1,...,г.
(2.4.19)
Все эти интегралы находятся в инволюции.
Уравнение Гамильтона-Якоби
ЭИ^
H(Pj,qk)=E, Pj=-----------, W=W! + .. .+ Wr,
oQj
=Wi(Qi... Qr), W2 = W2(qi+1 ... qi + /),. . . эквивалентно следующей
системе уравнений:
^ /ЭИ/, dWi \
SfA--... --, Qi,...,Qi)+ul =clb\ + ... + crbrl, \ bqi dqj J
/ bWr \ ,
•$r ( • • • > - • - Qn Ur - C\ br + . .. + Crbrr.
\ bqn /
(2.4.20)
(2.4.21)
105
При этом, если все числа /, /, ... ,т равны единице, г = п, мы получаем
случай Штеккеля; если же равны единице все числа, кроме первого, то мы
приходим к случаю ди Пирро.
Отметим еще работу Леви-Чивита [235], в которой был найден критерий
существования квадратичного интеграла вида
/ = 1 Sa,k(q)P/pk (2.4.22)
для гамильтоновой системы с
Н = ^ 2 а,кр,рк. (2.4.23)
Этот критерий довольно сложен и мы его здесь не приводим.
В заключение этого раздела отметим, что существуют системы, не обладающие
квадратичными интегралами движения, но имеющие интегралы движения более
высоких степеней по импульсам (см. примеры в разделе 2.2). Уравнения
движения таких систем методом разделения переменных проинтегрировать не
удается, и для их интегрирования приходится использовать более сложные
методы (первые примеры такого интегрирования можно найти в работах Вебера
[302], С. Ковалевской [224, 225] и Гарнье [178]).
2.5. Движение в центральном поле
Рассмотрим движение материальной точки единичной массы в "-мерном
пространстве в центральном поле, т.е. в потенциальном поле, зависящем
лишь от расстояния г от начала координат,
Н = ± рг + U(r), р = \р |, ?/(<?) = U(r), r = \q\. (2.5.1)
Гамильтониан такой системы инвариантен относительно преобразований группы
SO (л) - группы вращений л-мерного пространства. Как следст-л(л - 1)
вие этого, ---------- величин - компоненты тензора момента
количества
движения
If к ~Qj Рк - QkPj, ljk=-lkj (2-5.2)
- являются сохраняющимися величинами. Нетрудно видеть, однако, что не все
эти величины являются независимыми: среди них имеется всего (2 л - 3)
независимых величины.
Фиксируя значения всех компонент этого, тензора, мы фиксируем тем самым
двумерную плоскость, содержащую векторы q и р. Постоянство тензора lJk
означает, что частица во время движения находится в этой плоскости. Вводя
на этой плоскости обычную декартову систему координат, приходим к задаче
с двумя степенями свободы и гамильтонианом
Н = ^ (Р2, +pl) + U(r), r= y/q] +q\. (2.5.3)
106
Переходя к полярным координатам г и
qi =r cosy, q2 =rsin^, (2.5.4)
получаем
н = + 7=0 + щ)' (2'5'5)
Мы видим, что гамильтониан Н не зависит от у (или, как говорят,
координата ф является циклической). Отсюда следует, что
сопряженная
к ней величина от времени не зависит:
р\ = I2 = 2 I2 = const, р= r2ip. (2.5.6)
j < к ,к
Таким образом, интересующая нас задача сводится к одномерной задаче с
новой потенциальной энергией
I2
V,(r) = Щг) + -г • (2.5.7)
2 г
Поэтому зависимость величины г от времени определяется квадратурой
1 г di
t - ----- / -=Z • (2-5.8)
у/2 y/E~Vj{Q После этого можно найти и зависимость от времени f dt
7\t)
Орбита же частицы определяется уравнением r d%
V = 11 ----- ¦¦¦" ¦- • (2.5.10)
?у/2(Е- V,(Q_
Отсюда в случае финитного движения подучаем
гшах ф
Д*=/ I ----------- 1" (2.5.11)
'min Г2у/2(Е- V)
Поэтому такая орбита является замкнутой, если Д<р/ж является рациональ-т
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed