Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
86
где W+ и W_ - стандартные функции Уиттекера, т.е. решения уравнения
Е. Системы Камалина - Переломова. В работе [216] описан класс
интегрируемых гамильтоновых систем, связанных с определенными орбитами
(типа Тоды) коприсоединенного представления борелевских подгрупп
вещественных расщепимых групп Ли. В частном случае получаются
интегрируемые системы с двумя степенями свободы.
Приведем несколько примеров.
(1) Случай А2-
Ж. Движение по поверхности. 1. Движение по поверхности враще-
Координата здесь является циклической и соответственно величина Рф = р2р
является интегралом движения.
Заметим, что при движении в потенциальном поле вида
и интегрируется в квадратурах [35].
Задача.Проинтегрировать уравнения движения свободной частицы:
а) на поверхности шара;
б) на поверхности параболоида вращения;
в) на поверхности конуса.
Детали вычислений можно найти в книге [35].
*) Движение по поверхности вращения впервые исследовано Ньютоном [27 ].
(2.2.98)
H = q\p\ +(<7i + ql)pl + QiQiPiPi +<7i + <7z-
(2) Три случая, связанных с группой G2 ¦
(&)H = q\p\ +3 (д\ +ql)pl +3<7i<72PiP2 +{q\ +ql)\
(б) H = q\p\ + (4qi +3q\)p\ + q\ + 4q\q\ +3q\\
3
(в) H - q]p\ +(3<?i +ql)pl - q^PiPi+q^ q\.
4
(2.2.100)
(2.2.99)
нйя*). Эту поверхность можно задавать, например, уравнением
Z=/(P). р=\х2+у2, х=р cosq>, у=р sin "р. (2.2.101)
Гамильтоциан такой системы имеет вид
(2.2.102)
В(р)
U = U(p,<p)=A(p) + - Р
(2.2.103)
система обладает интегралом движения
I = - Р% + в(#)
(2.2.104)
87
Задача. Проинтегрировать уравнения движения частицы на поверхности
вращения в поле тяжести, направленном по оси симметрии системы, для
поверхностей, задаваемых уравнениями:
а) 9а р2 =z(z - За)2 ;
б) 2 р4 +3 а2 р2 -2 га2 =0;
в) ^р2 -az - - д2^. =a3z.
Указание. В этих примерах интегрирование выполняется в эллиптических
функциях. Случаи а) и б) были рассмотрены в работе [219]. Относительно
других случаев интегрируемости в эллиптических функциях см. работу [280].
2. Свободное движение по поверхности эллипсоида с полуосями а, Ъ, с
(Якоби [210]). Поверхность эллипсоида задается уравнением
х2 у2 z2
- + ТГ+- =1. (2-2.105)
а Ъ с
Система допускает квадратичный интеграл движения (Иоахим-сталь [213])
fx2 у2
I ~ ( --------- + +------
V д4 Ь4 с4
il i! JL
а2 + Ъ2 + с2
(2.2.106)
/,- = -р;+Г(а,-ак)-Ч;к,
а также интегралы 1
on =а2, a2=b2, а3=с2, ljk = (xj рк - хк pj),
(2.2.107)
Я = /,+Д+/3,
находящиеся в инволюции (К. Уленбек [300]).
3. Движение по поверхности сферы в поле квадратичного потенциала (К.
Нейман [254])
U - - (Xtx2 +Х2Хз +Х3х2). (2.2.108)
2
Система допускает квадратичный интеграл движения
/ = Х- ?Х/Р2 + Х- (Lp2)CEXkq2k)+ ^ 2^2 (2.2.109)
а также интегралы
+z (2.2,110)
находящиеся в инволюции (К. Уленбек [300]).
3. Системы с нелинейным фазовым пространством. Мы рассмотрим здесь
движение твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести и движение
твердого тела в идеальной жидкости.
Обе зти системы связаны с группой Е (3) - группой движений*) трехмерного
евклидова пространства [93, 99]. Динамическими переменными здесь являются
величины /i, l2, I3, р\, р2, Рз¦ Скобки Пуассона для них имеют вид
{IhPj^ ~~ ^ijk Р к> (2.2.111)
а уравнения движения
р,- ={#, Pj). (2.2.112)
Величины /i = р2 и 12 = 1р инвариантны относительно действия группы Е(3).
Приравнивая их константам, получаем четырехмерное многообразие,
топологически эквивалентное кокасательному расслоению Т* 82 к двумерной
сфере 82. Таким образом, рассматриваемая система относится к числу систем
с двумя степенями свободы.
Приведем несколько примеров таких систем.
1) Волчок Лагранжа (Лагранж [22]):
Н = j [Л(1? +Ц) + С12] +7р3. (2.2.113)
Как следствие симметрии относительно вращений вокруг третьей оси, система
обладает интегралом
/ = /3. (2.2.114)
2) Волчок Ковалевской (С. Ковалевская [224, 225] ) :
Я = j (If +1? +2li) + 7iPi +7зР2- (2.2.115)
Дополнительный интеграл движения имеет вид
1=\Л(!1 + il2)2 +(7i +iy2)(Pi +iP2)\2- (2.2.116)
3) Движение твердого тела в идеальной жидкости. Случай Кирхгофа [218] :
Я = y (/? +/?) + y % +Bt(hPt +1гРг) +
С с
+ В313Рз + y (Pi +Р?) + ~ Рз- (2.2.117)
Так же, как и в случае волчка Лагранжа,
/ = /3. (2.2.118)
4) Движение твердого тела в идеальной жидкости. Случай Клеб-ша [152]:
2Я = (Л,/? +А2Ц +Аз1\)+(Схр\ +С2р1 +С3р1), (2.2.119)
где коэффициенты Ау и С* не являются независимыми, а удовлетворяют
*) Эта группа, однако, имеет различную физическую интерпретацию для этих
двух случаев.
89
соотношению
Al\C2 - С3)+А21(С3-С1)+Аз1(С1 -С2) = 0. (2.2.120)
Дополнительный интеграл движения имеет вид
С - с
/ = (/? +1г +1з)-(В1р\ + В2р\ +В3р23), Bi-B2= 2 ,
Аз (2.2.121)
5) Движение твердого тела в идеальной жидкости. Случай Стекло-ва [288]:
2 Я = 2 {Ajl] + С,- р} + 2 B/ljp,).
Коэффициенты Aj, В^ и С/ удовлетворяют условиям
В/ = p(A1A2A3)Aj 1 + v, Ci - p2Ai(A2 - Аз)2 + v ,...
Дополнительный интеграл
21 = 2(/2 - 2p(Aj + у)/ур;-) + д2((Д2 -Дз)2 + v")p\ + ...
У
Отметим, что во всех рассмотренных случаях (за исключением волчка
