Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
" ~ 2л
<7(0= 2 <aycos(/cof) + 2 6fcsin(A:cL)0. ш =------------•
/=о
к= 1
По поводу вычисления коэффициентов aj и Ьк в этом разложении мы отсылаем
заинтересованного читателя к работам [1 17, 303]. Отметим
а Р
лишь, что для потенциала U(q) =---------+ -, а > 0, /3 > 0, эти
коэффи-
<7 Ч
циенты выражаются через функции Бесселя.
Рассмотрим ряд примеров, когда интегрирование в (2.1.5) удается выполнить
явно. В дальнейшем мы обобщим все эти примеры на случай нескольких
степеней свободы.
1. U(q)=g2q~2, Е> 0.
Движение происходит в области q0 < q < °°, где <7о =\/g2lE. При этом
Ч(0 = у/ч1 +Plt2, р\ = 2Е. (2.1.9)
2. U(q) = g2sh~24, Е>0 (рис. 1).
Движение происходит в области q0<q < <х>, где <7о = ATshyJg*/E. При этом
ch <7 = a ch р01,
a = ch<7o =y/\ + g2lE, (2.1.10)
Ро ~ \J2E-
Рис. 1
*)3аметим, что знание функции Т(Е) при всех допустимых значениях Е, при
дополнительном предположении, что функция U(q) четна относительно
середины отрезка (а, Ь), позволяет однозначно восстановить потенциал U(q)
(см. [23, 107J). В частности, если Т не зависит от Е и U(q) - четная
функция, то U(q) = kq2.
69
Рис. 3
2'. U(q) = -g2c\i~2 q (рис. 2).
a) -g2 < E < 0. Движение финитно: -q0 < q < q0, где q0 =
= Arch\V/l E\,v.
sh q = a sin cof, a = sh q0 = \/(g2/\E I) - 1, y/2n
со = 72Ш, T =
(2.1.11)
vm
б) E> 0. Движение инфинитно: -oo < q < oo.
sh q = astipot, a = y/(g2/E) + 1, Ръ=у/2Ё. (2.1.12)
в) Д= 0, -oo < q <°°.
sh<7=ar, a-\[7.g. (2.1.13)
3. U(q) = g2 sin'2 q, E>g2 (рис.З).
Движение происходит на отрезке q0 < q < л - <7о, где <70 = arcsin \/g2lE.
При этом
cos q = a cos соГ, а = cos q0-\ \ - g2/E, \/2т1
со = \/2Д, Г =
(2.1.14)
Интересной особенностью движения в случаях 2'а и 3 является независимость
периода колебаний Тот величины#.
4. U(q) = g23>(q \ сот, со2), где HP^q1 сот, со2) - функция
Вейерштрас-са (см. [4]) (см. рис. 3).
^(<71 сот, со2)= 2' (<7 - 2"icoi - 2л2со2)-2 -
- 2' (2 л т сот + 2и2со2) 2 + q 2 =asn 2(fiq,k) + y.
(2.1.15)
Здесь сот = а, ш2 - ib - два полупериода этой функции (мы Ограничимся
рассмотрением простейшего случая, когда а и b вещественны), sn(<7, к) -
70
так называемый эллиптический синус
sn"2((ei - е3)1/2 q, к) = (et - e2)_1 (&(q) - е2), ej =^>(со/-), /= 1, 2,
е3 =5°(со1 + сог).
(2.1.16)
Мы можем поэтому предположить, что U{q) = g2sn~2(q, к). ПриЕ>Ео, Ео =
g23'(.ui), движение происходит в области q0 < q < 2а -q0, где q0
находится иэ условия sn(<70, к) = \fg2!E и определяется уравнением
сп(<7, к) = a cn(71, к). Здесь
(2.1.17)
к =
ка
= к2
E-g2 E-g2k2
\-к2(\-а2)
у = у/2.g( 1 - к2(1 - а2 ))l'2 = V2 (Е -g2к2)1/2 Период колебаний дается
формулой
dx
, ?< 1.
(2.1.18)
(2.1.19)
5. U(q) = g q +
2 2 СО <7
, Е >Е0 = y/2ajg (рис. 4).
Движение происходит на отрезке q t < q < q2, где q i и q2 определяются из
уравнения
, .2
(2.1.20)
g2x~2 + х2 =Е.
2
При этом
q =\/<7i + - <7?)sm2cor. (2.1.21)
Период колебаний Т = л/со не зависит отg и так же, как и в случае
гармонических колебаний, не зависит от энергии.
6. U(q)= g2exp(-2q), Е> 0 (рис. 5).
Рис. 4
Рис. 5
71
Движение инфинитно: q0 < q < °°, где q0 = -~ In(E/g2). При этом
q = In ch bt + q0, b = y/2E.
6'. U(q) = g2ch 2q, E>g2 (рис. 6).
(2.1.22)
Движение происходит на отрезке - q0 < q< q о, где q0 = - Arch (E/g2) ¦
При этом
sh q(t) = acn(yt, k),
(2.1.23)
' 1 11/2 a = sh = ~(Elg2-1) , k=thq0= [(E-g2)l(E + g2)]112,
y=2gchq0 =(?' + #2)1/2.
Период колебаний равен 4
T=~K(k).
У
l.U{q) = -g2q\
В этом случае интеграл
(2.1.24)
(2.1.25)
у/Е + g2x4
стремится к определенному пределу при q -*-.<*>, а это значит, что
частица за конечное время уходит на бесконечность. Таким образом,
траекторию
Яо Ч
частицы в этом случае нельзя продолжить неограниченно по времени. Это -
простейший пример гамильтонова векторного поля
# • л 1 Ч
q=p, р= 4g q ,
(2.1.26)
которое не определяет поток на фазовой плоскости (q, р).
Мы рассмотрели простейшие случаи, когда ^фазовым пространством системы
является обычная евклидова плоскость. Более сложные системы с нелинейным
фазовым пространством типа двумерной сферы $2 или плос-
кости Лобачевского ?2 мы рассмотрим позже. Отметим лишь, что к случаю 82
сводится хорошо известный волчок Эйлера.
Задача- Проинтегрировать уравнения движения:
а) математического маятника: U(q)=g2(l- cosq);
б) системы с U(q) = g2(2eq + e~2q - 3);
в) -системы с U(q) = g2 sh~2q- g\ ch'2?.
2.2. Системы с двумя степенями свободы
Анализ общей гамильтоновой системы с двумя (и большим числом) степенями
свободы выходит за рамки возможностей современной науки [1].
В то же время известно достаточно много таких систем, являющихся вполне
интегрируемыми. Некоторые из них удается проинтегрировать в явном виде.
Ключевым здесь является следствие*) теоремы Лиувилля [127, 241]:
Если помимо гамильтониана Н(р, q) известен второй, функционально
независимый от Н интеграл движения I(p, q), определенный на всем фазовом
пространстве динамической системы, то рассматриваемая система является
