Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
вещественные числа. С другой стороны, многие задачи механики,
интегрируемые в квадратурах, решаются в эллиптических или более сложных
(например, абелевых) функциях времени. Это приводит к естественному
обобщению конструкции - рассмотрению уравнения Лакса, содержащего
В большинстве случаев L (А) иМ(А) зависят от параметра А (который обычно
называется спектральным параметром) через рациональные функции, однако
имеются также интересные примеры тригонометрических и эллиптических пар
Лакса.
В терминах алгебр Ли переход от (1.14.1) к (1.14.4) состоит в замене
алгебры Ли 59 на $-значные функции от А. Простейшей алгеброй такого рода
является алгебра полиномов Лорана по А с коэффициентами в алгебре Ли 59,
так называемая алгебра петель, или (менее строго и только когда алгебра
59 проста) аффинная алгебра Ли, или алгебра Каца-Муди (см. [78, 50,
248]). На важность использования таких бесконечномерных алгебр в теории
вполне интегрируемых систем было указано впервые в работах [272] и [110,
111]. В качестве иллюстрации покажем, как можно применить теорему 1.12.6
к алгебрам петель.
Пусть 59 = 59[к, А-1 ] - алгебра петель на$, т.е. алгебра Ли полиномов
Лорана с коэффициентами в алгебре 59'
Имеется очевидное разложение 59 на две дополнительные подалгебры 59±:
Нетрудно видеть, что теорема 1.12.6, примененная к разложению 59=59+
+5$_, дает теорему 1.12.1. Далее, пусть а - инволюция в 59 и определим
''скрученную" алгебру петель 59а согласно формуле
Эту алгебру можно разложить: 59а =59+ + 59°_, где 59°± = 59а П 59±. Тогда
теорема 1.12.6 дает сразу же теорему 1.12.3. Отметим, что теорема 1.12.6
дает также представление Лакса для уравнений Гамильтона, индуцированных
инволютивными семействами теорем 1.12.1 и 1.12.3.
Инварианты
как и прежде, являются интегралами движения, но теперь уже зависят
параметр А*):
L(A)= [L(A),M(X)].
(1.14.4)
" = {{(*) = 2*/, Ste59Y.
(1.14.5)
(1.14.6)
&={?(*)? 591 ?(-A) = a?(A)}.
(1.14.7)
4(A)=|tr(L(A))fc,
к
(1.14.8)
*1 Уравнение Лакса в таком виде было введено в работе С.П. Новикова [92].
66
от X- Разлагая их по степеням X, получаем семейство интегралов /fc>m:
/fc(X)=2/fc,mXm, (1.14.9)
т
которых в большинстве случаев достаточно для доказательства полной
интегрируемости.
Уравнения Лакса со спектральным параметром недавно стали предметом
интенсивного изучения методами алгебраической геометрии (см., например,
[12, 13]). Связь между парами Лакса со спектральным параметром и
римановыми поверхностями устанавливается следующей теоремой, которая
является простым следствием теоремы 1.12.7, примененной к разложению &=
i§+ + <3_ (см. [273]).
Теорема 1.14.1. Уравнение Лакса L(X) = [L(X),M(X)] типа(1.12.20)
линеаризуется на многообразии Якоби алгебраической кривой, определенной
уравнением
7>(X,M) = det(L(X)-M/)=0. (1Л4.10)
Этот результат приводит, в принципе, к явному решению уравнений движения
в терминах тета-функций Римана, связанных с кривой, определенной
уравнением (1.14.10). Имеются многочисленные примеры такого типа; сюда
относятся, в частности, периодические цепочки Тоды, связанные с простыми
алгебрами Ли, задача Неймана - движение точки по сфере под действием
линейной силы, свободное движение точки по эллипсоиду, волчки Эйлера,
Лагранжа и Ковалевской и другие интегрируемые системы.
Глава 2
ПРОСТЕЙШИЕ СИСТЕМЫ
2.1. Системы с одной степенью свободы
Как хорошо известно (см., например, [1, 23, 35]), интегрирование
уравнений движения гамильтоновой системы с одной степенью свободы
сводится к квадратурам. Здесь мы рассмотрим простейшие примеры таких
систем; аналогичные системы удается проинтегрировать и в случае
нескольких степеней свободы. '
Пусть материальная точка (частица) единичной массы движется по прямой в
потенциальном поле U(q) (q - координата частицы, р - ее импульс). Такая
система описывается гамильтонианом:
Р2
H = -*U{q). (2.1.1)
Уравнения движения частицы имеют вид
ъи
Я =Р, Р=(2.1.2) Э<7
или
Э и
q = -- (2.1.3)
dq
и допускают интеграл движения (интеграл энергии)
Р2
Н = + U{q) = Е = const. (2.1.4)
Нахождение закона движения - функции q(t) - сводится теперь к квадратуре
1 я dx
t -/ (2.1.5)
л/2 Чо у/Е - U(х)
Очевидно, что движение частицы может происходить лишь в области Е > U(q),
так что точки (а, Ъ,. ..), для которых Е = U(q) (так называемые точки
остановки), определяют границы движения.
Характер движения зависит от вида потенциальной энергии U(q): движение
может быть инфинитным (частица может уходить на бесконечность) и финитным
(частица движется в конечной области).
68
В случае финитного движения в области а < <7 <Ь (а и b - точки остановки)
частица совершает колебания, период которых находится по фор-
муле
О
T(E) = s/2 f
dx
(2.1.6)
в у/Е- U (х)
При этом период малых колебаний вблизи положения равновесия q ^<70:
ъ2и
ъи
bq
= U'(до) = О,
Я = Я о
дается формулой 2л
= U (qо) > О
Я = Яо
Т =
\/и"Ш
(2.1.7)
(2.1.8)
В рассматриваемом случае функция q (/) может быть разложена в ряд Фурье
