Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 23

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 88 >> Следующая

можно ограничить ца орбиту коприсоединенного представления. Во многих
интересных случаях получающиеся при этом гамильтоновы системы оказываются
вполне интегрируемыми. Отметим, что все эти конструкции можно
рассматривать как частные случаи более общего метода - так называемого
метода классической г-матрицы [104]. Однако методы, описанные в настоящем
разделе, обладают рядом специфических особенностей, важны для приложений
и потому заслуживают отдельного рассмотрения. Перейдем к их описанию.
1. Пусть 3 - алгебра Ли, а 3" - пространство, дуальное к 3 , снабженное
стандартной скобкой Ли-Пуассона (см. раздел 1.11). Обозначим через /($*)
пространство функций на 3*, инвариантных относительно ко-присоединенного
представления группы G. Поскольку эти функции коммутируют по Пуассону с
любой функцией на 3', они приводят к тривиальным уравнениям Гамильтона.
Тем не менее - и это является главной темой данного раздела -
инвариантные функции можно использовать для получения нетривиальных
уравнений движения, обладающих дополнительными интегралами движения в
инволюции.
Теорема 1.12.1 [90]. Пусть Дх), Л(х) G /( 3*), a G 3" и X, д G 1R. Введем
обозначения Д а (х) = Дх + Ха), Лм a(x) = h (х + да). Тогда
{/*."(*), W*" = 0, (1.12.1)
где { , } - стандартная скобка Ли- Пуассона на 3*.
Доказательство. Представим х в виде линейной комбинации (х + Ха) и (х +
да): х = а(х + Ха) + |3(х + да), где а = д(д -X)'1, /3 = = Х(Х - д)"1.
Тогда
|/м(4 VflM) [ Vf\.a(x), vv"(x)] > =
= а<х + Ха, [V/(x+Xa), УЛ(х+да)]> +
+ /3<х+да, [V/(x + Ха), Vh(x + да)] >.
Но первое слагаемое обращается в нуль в силу инвариантности функции Дх),
а второе - в силу инвариантности функции h(х). Таким образом, {A.eW" Лм,
а(х)) = 0. Отметим, что эта конструкция дает полный инво-лютивный набор
функций для достаточно широкого класса алгебр Ли, включающего полупростые
алгебры Ли (см. ниже). В качестве гамильтониана здесь можно взять любую
функцию из этого набора. Относительно дальнейших обобщений этой
конструкции см. обзор [34].
2. Идея второго способа состоит в том, чтобы рассмотреть более широкую
алгебру 3, в которую алгебра 3 вложена в качестве подалгебры, и
использовать инварианты коприсоединенного представления алгебры 3 для
построения нетривиальных уравнений движения на 3*.
Теорема 1.12.2 [222, 292]. Предположим, что алгебра Ли 3 является
линейной суммой двух подалгебр, 3 = 3 + ?, и соответственно
55
для дуальных пространств имеем 3* = 3* + f*, 3" =* if1, if* = 3L.
Тогда: _
а) инвариантные функции на 3", ограниченные на 3*, находятся в инволюции
относительно скобки Ли-Пуассона на 3 *;
б) пусть / - инвариантная функция на 3*, рассматриваемая как гамильтониан
на 3*. Тогда соответствующие уравнения Гамильтона на $* можно записать в
виде обобщенного представления Лакса
х = аА*м-х, гё S', (1.12.2)
где ad* означает коприсоединенное представление 3, М = П^УДх), V/(x) -
градиент функции /(х) в точке х, а П^: § - проекционный
оператор для разложения 3 = 3 .
Доказательство. По определению скобка Ли-Пуассона для двух функций/и h на
3* дается формулой
{/(х), A(*)V = <*[V/(x), VA(x)]>. (1.12.3)
Для функции /(х) на 3* положим
V/(x) = V, /(х) + V2 /(дс), (1.12.4)
где V1 Дх) е $ , V2 Дх) е f , так что V, Дх) - это дифференциал
функции /, ограниченный на J3*. Если Дх) является Ad*-инвариантной
функ-
цией, то для любого ? ? 3
<х, [ V/(*), ?]>= о. (1.12.5)
Если h - другая Аа-инвариантная функция на § , то из (1.12.3) и
(1.12.5) следует
{/(дс), h(*)}*.= <дс [ V,/(jc), V, h(х)] ) =
= -<х [V2/(x), V, h (х)] = (х [V2/(x), V2A(x)] ) = 0,
поскольку х G 3* - if1, a [V2/(x), V2 h(х)] G f . Таким образом, первая
часть теоремы доказана.
Возьмем в качестве гамильтониана на 3* инвариантную функцию / на 3*.
Тогда для линейной функции ? G 3 на 3* получаем уравнение
<х, ?> = {/(х), ?(х)},," = <х [V,/(x), ?]> =
= -<* [ V2 /(х), ?]) = < ad ^ f(x) ¦ x,j ?).
Следовательно, i = adv2/W*.
что и требовалось доказать. ^
Отметим, что если на алгебре 3 существует невырожденное, ad'-инвариантное
скалярное произведение, которое позволяет отождествить 3* с 3 и ad* с ad,
то уравнение (1.12.2)можно переписать как обычное представление Лакса (L
=х) :
L = [L, М].
56
Пример
В качестве иллюстрации теоремы 1.12.2 мы обсудим цепочку Тоды [109, 222,
292]. Пусть $=sl(/J,IR), S - подалгебра ни^сних треугольных матриц, § -
so (л) - подалгебра антисимметричных матриц. Инвариантное скалярное
произведение дается формулой (А, В) - tr(4 • В) и позволяет отождествить
S* с пространством vF1 - пространством симметричных матриц: S* - Symm(").
В качестве гамильтониана возьмем
Тогда уравнение Лакса на S' принимает вид
L=[L,M\, M=nsoML (1.12.6)
(если через L +, L_ обозначить верхнюю, соответственно нижнюю треугольные
части L, то М = L + - L _). Как было показано ранее, все гамильтоновы
системы на S' можно ограничить на орбиты коприсоединенного представления.
Рассмотрим, в частности орбиту, проходящую через элементно,
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed