Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
группы si (л, (С).
Обсудим также другую конструкцию функций в инволюции, которая дается
теоремой 1.12.3 и связана с симметрической градуировкой алгебры Ли. При
этом ограничимся рассмотрением случая, наиболее интересного для
приложений. Пусть а - инволюция. Картана в &и& = Х+ & - разложение & на
собственные подпространства ст, соответствующие собственным значениям +1
и -1 соответственно. Обозначим через &а полупрямую сумму подалгебры и
векторного пространства Э>. С помощью формы Кил-линга на $ мы можем
отождествить дуальные пространства и с'З- Тем самым на & возникает две
скобки Ли-Пуассона: {,} и {,}а. Фиксируем какой-либо элемент a Е Тогда,
как известно, для любых ^-инвариантов f и h и любых X, д Е [R функции/(р
+ ~Хк + Х2ст) и h ip + д к + д2а) коммутируют по Пуассону по отношению к
скобке Пуассона {, }а на i§. Такое семейство функций может оказаться
неполным, однако его всегда можно дополнить произвольным полным
инволютивным набором функций на X*, где Ха - стационарная подалгебра
элемента а в X. (Функции f(p + Xfc + Х2а), очевидно, инвариантны
относительно действия стационарной подгруппы Ка, следовательно, они
коммутируют по Пуассону с любой функцией, поднятой с Ха с помощью
проекции ~+Ха •)
Теорема 1.13.5 [70]. Пусть $ - вещественная полупростая алгебра Ли, ст -
инволюция Картана, <3=X+SF> - соответствующее разложение Картана и а -
произвольный элемент в $*. Тогда инволютивное семейство
9ra,a={f(p + 'Kk + 'k2d)\ f&i{$) 'k&m)u9r(xa)
полно на & относительно скобки Ли-Пуассона {, }а.
В качестве иллюстрации дадим описание семейства гамильтонианов,
содержащихся в $Fa a и описывающих конкретные механические системы.
Обозначим через Х^ ортогональное дополнение Л], в&. Нетрудно доказать,
что ada является'обратимым оператором наХа. Выберем элемент в b Е 3s
такой, что [Ь, а] = 0, [Ь,Ха\ - 0. Тогда [b,X]C.XLa, так что можно
определить оператор Са ь: Х^Хсогласно формуле
Са,ь(к) = (ad"1 • adb • ki) + k2, где k = ki + k2, ki&XLa, k2eXa.
Тогда гамильтонианы
H{k + p)= ^(k,Ca,bk)-{b,p)
содержатся в семействе $а,а и> следовательно, описывают вполне
интегрируемые системы на по отношению к скобке {, }а. Во многих
практических случаях эти гамильтонианы описывают классические
интегрируемые случаи движения твердого тела и их многомерные аналоги
(см., например, [30], [274], [275]).
Отметим еще, что инволютивные семейства &а и S-a а связаны с парами
согласованных скобок Пуассона: в первом случае это скобки { ,} и
64
{, }д, где {f, h)a = (а [Vf, VA] >; во втором случае это {, }д и {,} + {,
}д [30].
Еще одна серия согласованных скобок Пуассона была указана И.Л. Кантором.
Опишем частный случай этой конструкции. Пусть!, -пространство
антисимметричных матриц. Зададим на!, семейство коммутаторов [ , ] д '•
[?, г\\'А = %Аг) - г)А%, где А - произвольная симметричная матрица. Тем
самым на L* определено многопараметрическое семейство скобок Ли-Пуассона
{ , }А, причем любые две скобки (Л^ и { Л в согласованы, поскольку
рассматриваемое семейство линейно: а{ ,}А + (S{ , }в =
= ( > )аЛ + (ЗВ'
Обозначим через 1А множество центральных функций для скобки {, }А, а
через S(А, В) - двумерное подпространство а.А + $В. Положим г = max{rk [
,]с, с S S(A, !?)} и обозначим через ?АВ объединение множеств 1С с такими
с = S(A, В), для которых ранг [ , ]с = г. Как нетрудно видеть, $А в - это
инволютивное семейство по отношению к любой скобке {,}с, с е S(A, В).
Если положить Л о = diag [1, 1,... , 1, 1], В0 = = diag [1, 1, .. ., 1,
0], С0 = diag [сь . .. , c"], с, Ф Cj, то оказывается, Что 9а в -это
множество первых интегралов уравнений движения л-мерного твердого тела в
идеальной жидкости, обобщающих случай Клебша (см. [99]).
1.14. Гамильтоновы системы и алгебраические кривые
Как мы видели ранее, ключевым моментом в современном подходе к
интегрируемым гамильтоновым системам является представление их уравнений
движения в форме Лакса
L=[L,M], (1.14.1)
где L и М принадлежат одной и той же конечномерной алгебре Ли $. Мы
предположим для простоты в этом разделе, что & - это матричная алгебра
Ли. Тогда величины
!jt= ~ tr(!,fc) (1.14.2)
к
являются интегралами движения и при выполнении дополнительных условий,
сформулированных*в разделе 1.12, находятся в инволюции.
Однако во многих важных случаях рассмотрение лишь конечномерных алгебр Ли
для наших целей недостаточно. Например, число функционально независимых
инвариантов полупростой алгебры Ли равно ее рангу, так что интегралы
(1.14.2) обеспечивают полную интегрируемость лишь для тех орбит,
размерность которых не превышает удвоенного ранга.
Более серьезное ограничение касается природы траекторий. Поскольку
решение уравнения (1.14.1) может быть получено с помощью стандартных
разложений в группе Ли G - таких, как разложения Брюа, Ивасавы или
Картана, зависимость динамических переменных от времени имеет вид
!>(0 = F(t, exp(ai Г), • • ¦, ехР(%0), (1.14.3)
3. А.М. Переломов
65
где F - рациональная, матричнозначная функция, а аь . .. ,aN - некоторые
