Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
0 1 0\
?о=| 1 0 ' . . (1.12.7)
' .' . ' 1
.0 10/
Тогда нетрудно доказать, что эта орбита состоит из матриц вида (Ьх ах
° \
Ъ-1 ' Оп-Х
ах
V0 ¦ а"-х Ъп
Ограничение скобки Ли-Пуассона на эту орбиту дается формулами
(a;, aj } = 0, {b{, bj) = 0,
{аь Ь)}=а{, {ab.bi + x}= ~аь (1.12.9)
{аи Ь/} = 0, если |/-/|>1.
Заметим, что замена переменных
bi = p{, at= ехр("?| + 1 -qt)
приводит эти скобки к каноническому виду. При этом гамильтониан H=lh
tr(L2) принимает вид
j п п - 1 1 п п - 1
Н = - X ?,? + X af= - X р? + X ехр{ 2(qi+l - <?;)}, (1.12.10)
2 1 1 2 1 1
а матрица M = L + -L _, входящая в уравнение Лакса, имеет вид
0 ах
L =
X bj = 0, а/> 0. (1.12.8)
/= 1
Инвариантные функции = - tr(Lk), к= 2, п, образуют полный
к
набор интегралов движения в инволюции. (Заметим, что уравнения движения,
генерируемые этими функциями, имеют вид Лакса с М = = (Lk~ *)+ - (L )_.
Этот факт был впервые отмечен П. ван Мербеке, см. [109].)
3. Другое полезное семейство функций в инволюции дается следующей
теоремой.
Теорема 1.12.3 [30].Пусть $ - алгебра Ли, ст - инволюция на $, а $ = X +
&> - разложение на собственные пространства оператора ст: ст = id на X и
ст = -id на &. Пусть &а = Х + 3й - полупрямая сумма подалгебры X и
векторного пространства &. Фиксируем элемент a S и определим семейство
функций на -X* + формулой
fa>\(L)=f(X~1a+х+\s), L=x+s, (1.12.12)
где / ? /($*)> х ? X* и s ? - независимые переменные, а X - вещест-
венный параметр. Тогда функции (1.12.12) находятся в инволюции
относительно скобки Ли-Пуассона для полупрямой суммы $а = X + S'.
Доказательство. Обозначим через { , } скобку Ли-Пуассона на $*, а через {
, }" - скобку Ли-Пуассона на (относительно структуры полупрямой суммы).
Тогда линейное преобразование 7\ на $*, определенное формулой
Т\{х + s) = Х-1а +х + Xs
(X фиксировано), переводит скобку { , } в скобку { , }^ = Х_2{ , } + + (1
- Х-2){ , }а + Х-2{ , }а, где скобка { ,}" определена формулой
{?, 17)а = (а % 17]>
для ?, т/ S $ . Предположим теперь, что/ - инвариантная функция на 'З*.
Поскольку fa,k(L) = /(7\ ¦ L) и / является центральной функцией для { ,
}, т.е. {/, ф)- 0 для произвольной функции ф, мы имеем {/а>\, ф}\- 0 для
произвольной функции ф. Следовательно, если А - другая инвариантная
функция, то
(fa, ha, д} А. "г ^ ~ ( fa, А* ha, д) д •
Таким образом, /а х и Аа> д коммутируют по Пуассону также по отношению к
любой линейной комбинации скобок { , }^ и { , }д. В частности,
Х2(Ла-Д2{, }д = (X2 -Д2){,)а,
так что {fa Аа> а = 0, что и требовалось показать.
Заметим, что в действительности было доказано более сильное утверждение:
функции /а х (1.12.12) находятся в инволюции по отношению к линейному
семейству скобок Пуассона
а { , }а +0({ , }+{ , }д).
Применение теоремы 1.12.3 к римановым симметрическим парам (, ст) дает
многочисленные интегрируемые гамильтоновы системы, имеющие естественную
механическую интерпретацию, такие, например, как вращение многомерного
твердого тела в определенных потенциальных полях.
4. Все рассмотренные выше конструкции гамильтоновых систем с большим
числом интегралов движения в инволюции оказываются специальными случаями
так называемого метода классической г-матрицы, который в настоящее время
является, по-вйдимому, наиболее общим методом построения интегрируемых
гамильтоновых систем. Этот метод был предложен вначале в работе [105] и
был развит затем в теоретико-групповую схему в работе [104]. Здесь мы
лишь сформулируем основную теорему, отсылая интересующегося читателя за
деталями к работе [104].
Начнем с определения. Пусть 3 - алгебра Ли и R - линейный оператор на 3 .
Определим на 3 билинейную операцию [ , ] R согласно формуле
Очевидно, что эта операция антисимметрична. Оператор R называется
классической г-матрицей, если [ , ]д удовлетворяет тождеству
Якоби.
Если R - классическая г-матрица, то скобка (1.12.13) определяет вторую
структуру алгебры Ли на 3 , и мы назовем пару (3, R) двойной алгеброй Ли.
Этим двум скобкам Ли соответствуют две скобки Ли-Пуассона на 3*:
Напомним, что Ad'-инвариантные функции на 3* являются центральными для
скобки Ли-Пуассона { , }.
Теорема 1.12.4 [104]. Пусть (3, R) - двойная алгебра Ли. Тогда:
(1) Ad'-инвариантные функции на 3* находятся в инволюции по отношению к
/?-скобке{ , }R ;
(2) уравнения движения на 3*, индуцируемые инвариантным гамильтонианом Я
относительно .R-скобки { , }я, т.е. уравнения
Доказательство. Я-скобку (1.12.13) можно записать в более явном виде:
{/(*), h(x)}R = <x[RVf(x), VA(x)] > + <x[V/(x),/?VA(x)] >. (1.12.17)
Если Я - инвариантная функция, то (х [V#(x), ?]) = 0 для любого элемента
? Е 'З. Отсюда и следует часть (1) теоремы. Теперь, как следует из
(1.12.15),.уравнения движения, индуцируемые Я, имеют вид
уравнению (1.12.16).
Важный класс г-матриц возникает при рассмотрении разложения алгебры 3 в
линейную сумму двух подалгебр, 3 = 3+ +3 _ (ср. с теоремой 1.12.2). Пусть
Р+ - проекционные операторы на 3± параллель-
