Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
полноты таких семейств является, вообще говоря, нетривиальной задачей. В
данном разделе, следуя работе [70], будет указан критерий полноты
инволютивных систем, описанных в теоремах 1.12.1 и 1.12.3.
Как и прежде, через & обозначена конечномерная алгебра Ли, а через $*-
пространство, дуальное к ней. Мы уже видели, что для произвольного
элемента а пространства функции fk а (х) = f(x + Ха), где X Е [R, f G
/($*), при разных X находятся в инволюции относительно скобкй Ли-Пуассона
на . В случае полупростой алгебры Ли $ проблема полно-
ты до некоторой степени решается следующими двумя теоремами.
Теорема 1.13.1 [90]. Пусть $ - полупростая алгебра Ли ид -регулярный
элемент в $*. Тогда семейство сдвинутых инвариантных fk а(х) полно на$*.
Теорема 1.13.2 [71]. Пусть & - полупростая алгебра Ли (так что мы можем
идентифицировать и$) и пусть х - полупростой элемент*)$. Тогда существует
элемент а ? 'З такой, что семейство сдвинутых инвариантов а (х) является
полным на орбите Ох, проходящей через х.
Обратимся к рассмотрению алгебр Ли общего вида. Отметим прежде всего, что
конструкция сдвинутых инвариантов может быть переформулирована в
локальной форме. Для этого фиксируем элемент a G и для любой функции f
определенной в окрестности этого элемента, рассмотрим разложение функции
Дх) в ряд Тейлора в точке а:
' f{a + Хх) = /о(а) + Х/)(х) + '\1f2{x) + ...
Когда Дх) пробегает все локально инвариантные функции, определенные в
окрестности точки а, т.е. такие, что ad^y.^ • х = 0, тогда полиномы fk(x)
образуют инволютивное семейство на $*, которое мы обозначим через $а.
(Если на пространствеимеется достаточно много инвариантов для того,
*)Элемент х алгебры Ли У/ называется полупростым, если оператор айх
является полупростым, т.е. если существует базис из собственных векторов
для ad* в.4?(r).
?2
чтобы разделить орбиты общего положения, то семейства {fk а} и $а по
существу совпадают - они имеют одну и ту же линейную оболочку.)
Пусть гк($) - ранг алгебры $, т.е. коразмерность орбиты коприсоеди-
ненного представления общего положения. Для х ? 3* мы 1 положим Апп(х) =
{? G 3\ ad? • х = 0}.
Теорема 1.13.3 [70]. Пусть 3 - конечномерная комплексная алгебра Ли и а -
регулярный элемент 3*. Пусть S ={у Е.З* | dim Ann (у) > > гк($)} -
множество сингулярных элементов в 3*¦ Инволютивное семейство &а полно
относительно скобки Ли-Пуассона на3*, если и только если codimS > 2.
Соответствующее условие полноты для вещественной алгебры Ли Стребует,
чтобы codim S> 2 для комплбксификации 3.
Примеры
Пусть 3 - (комплексная или вещественная) полупростая алгебра Ли. В этом
случае множество сингулярных элементов имеет коразмерность 3 и из теоремы
1.13.3 следует теорема 1.13.1.
Другой класс примеров дается фробениусовыми алгебрами Ли, которые
являются алгебрами Ли ранга нуль. Поскольку в этом случае не существует
инвариантных функций, отличных от констант, семейство $а является
тривиальным. С другой стороны, множество сингулярных элементов
определяется одним уравнением вида С^Х/ = 0, где С)* - структурные
постоянные алгебры Ли.
Отметим, что сведение вопроса о полноте семейства сдвинутых инвариантов к
вычислению коразмерности множества сингулярных элементов в ряде случаев
упрощает задачу построения полных инволютивных семейств на^*.
Следств ие. Пусть 3 - X + - полупрямая сумма классической
простой алгебры Ли X и векторного пространства V относительно
неприводимого представления у: X -"¦ GL(W).Тогда семейство сдвинутых
инвариантов $а полно m3* для любого регулярного элемента a ? 3 *.
Пусть теперь х ? 3* - сингулярный элемент. Возникает естественный вопрос:
когда семейство &а при ограничении на сингулярную орбиту Ох дает полное
инволютивное семейство относительно стандартной симпдекти-ческой
структуры на Ох (задаваемой ограничением скобки Ли-Пуассона на О*)?
Известно, что из полноты семейства &а на всем пространстве еще не
вытекает полнота при его ограничении на сингулярную орбиту. Оказывается,
тем не менее, что при некотором дополнительном предположении
относительнох полнота имеет место.
Теорема 1.13.4 [70]. Пусть 3 - конечномерная комплексная алгебра Ли, S -
множество сингулярных элементов на3*,и предположим,что codim S > 2. Пусть
х ? 3* - сингулярный элемент такой, что гк Апп(х) = = гк3- Тогда
существует регулярный элемент а ? 3* такой, что ограничение инволютивного
семейства 9-а, ограниченного на сингулярную орбиту Ох, является полным.
Это утверждение остается справедливым и для вещественной алгебры Ли 3,
если S рассматривается как множество сингулярных элементов в пространстве
(3с) *.
Пример
Пусть алгебра 3 полупроста. Тогда нетрудно доказать, что для полу-простых
элементов х ? 3* -3условие гк Апп(х) = гк$, очевидно, выполнено. Таким
образом, из теоремы 1.13.4 следует теорема 1.13.2. Более того,
63
если $= si (л, (С), то гк Апп(х) = гк$для любого сингулярного элемента х
Е Следовательно, система сдвинутых инвариантов дает полное
инволютивное семейство на любой орбите коприсоединенного представления
