Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 25

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 88 >> Следующая

R, v]R = m,v]+[lRvb TjeS.
(1.12.13)
{/(*)> *(*)} =<х, [V/(x), VA(x)] ),
{/(*), h(x)}R = <*. [V/(x), VA(*)]">-
(1.12.14)
Теперь из (1.12.14) получаем
(adj?)s' х = adjR? ' х +R* (ad j х) .
(1.12.15)
х - (adfl) v#(jc) x>
можно записать в ''обобщенном лаксовом виде" х = adм х, где M = R •
VH(x).
(1.12.16)
59
но # т. Тогда оператор
Л=1(Р+-/"_) (1.12.18)
является г-матрицей, а соответствующая Л-скобка является прямой разностью
скобок Ли в алгебрах $ + и
K++S-, т/++т/_]л = [?+, Т7+] - [?_, т/_], (1.12.19)
?±, 17+ Е $ + . Для г-матрицы такого вида теорема 1.12.4 становится
прямым обобщением теоремы 1.12.2 (в таком виде она впервые появилась в
работе [30]) :
Теорема 1.12.5. Пусть $ = $ + +$ _ - расщепление алгебры Ли в линейную
сумму двух подалгебр. Тогда:
1) Ad'-инвариантные функции на $* = $*+$* находятся в инволюции по
отношению к ''прямой разности" скобок Ли-Пуассона на $+ и
(1.12.19);
2) уравнения движения на $ * = $+ + $*, индуцируемые инвариантным
гамильтонианом Н относительно R-скобки (1.12.19), можно записать в
обобщенном лаксовом виде
х = adJ/± • х, (1.12.20)
где
М±= ±P±(VH(x)).
Напомним еще раз, что если существует инвариантное невырожденное
скалярное произведение на $, которое позволяет отождествить и $, и ad* и
ad, то уравнение (1.12.20) принимает обычный лаксов вид (? = х)
L=[L,M±]. (1.12.21)
Теорема 1.12.2 является очевидным следствием теоремы 1.12.5 (для случая $
= $, $ = $+, $ = $_), поскольку $+ является инвариантным подпространством
в относительно R-скобки.
Переходя к рассмотрению более общего случая, предположим, что
$ 1 - это характер алгебры $_,т.е. <а[$_, ]) = 0. Тогда ''сдвину-
тое" пространство ($* + а) является инвариантным подпространством в $*,
так что, применяя теорему 1,12.5 к этому подпространству, получаем
следующую теорему.
Т е о р е м а 1.12.6 [222]. Предположим, что алгебра Ли $ является
линейной суммой двух подалгебр: $ = $ + Пусть a6f ' - 'S1 - характер §,
т.е. {a, [f,f]) = 0. Тогда:
(а) функции на $ * - р1 вида fa(x) = f(x + а), где Дх) пробегает
множество инвариантных функций на $ *, находятся в инволюции по отношению
к скобке Ли^-Пуассона на $ *;
(б) пусть / G /($ *). Тогда уравнения движения на 3 *, индуцируемые
гамильтонианом /а, можно переписать в обобщенном лаксовом виде
L = ad^/± ' гдeL-x+a, а М+ = ±P+(\7f(L)).
60
Проиллюстрируем эту теорему на примере цепочки Тоды. Пусть 3 = = si (л,
IR), 3- - подалгебра нижних треугольных матриц, а g + - подалгебра
верхних треугольных матриц с нулями на диагонали. Скалярное произведение
в 3, как и прежде, выберем в виде и(АВ). Тогда 31 идентифицируется с
пространством верхних треугольных матриц. Рассмотрим два элемента е + и
е_ в алгебрах 3 + и соответственно:
/о 1. о \ /о. °
• • . ¦ • .1 . 1 . |, (112.22)
\ 0 • О / • 1 ' о
е+ - это характер 3 _, или, что эквивалентно, одноточечная орбита. Орбита
О + алгебры 3 _, проходящая через е + , состоит из матриц вида
/ *i аг 0 \
L0=l • • ' ' ), 2fy = 0, at>0. (1.12.23)
\0
Выбирая в качестве Н простейшую инвариантную функцию H(L) =
= - tr(L2) и применяя теорему 1.12.6 к орбите О +, находим второе пред-2
стабление Лакса для цепочки Тоды L = [L, Mt] с L = L0 + е_, М± = = ±P±L,
bi ai 0 \ /0 а! 0
L= | 1. й2 '-. J, Л/+ = - 0. 0. ' • . |. (1.12.24)
• . йп_ j
\0 0 0
Отметим еще, что теоремы 1.12.1 и 1.12.3 можно вывести из теоремы 1.12.5.
Однако для этого необходимо ввести бесконечномерные алгебры Ли, состоящие
из многочленов Лорана с коэффициентами в данной
1
алгебре Ли (см. [102], [30]). Подчеркнем, что г-матрица R= - (Р+- Р_)
2
(1.12.18), связанная с разложением 3 = 3 + + 3 является выделенной.
Именно, соответствующая алгебраическая схема, описанная в теореме
1.12.5, интимно связана с задачей факторизации в соответствующей
группе G ([272], [273], [30]).
Теорема 1.12.7; Пусть G+ - подгруппы группы G, соответствующие
подалгебрам 3+. Пусть Н G. 1(3*) и ? = V#(x). Пустьg± (t) -гладкиекривые
в соответствующих подгруппах G+, являющиеся решениями задачи факторизации
exp(f$) = tf+(0_1S_(0> ?±(0) = с (1.12.25)
(величины g± (t) существуют по крайней мере для достаточно малых /).
Тогда решение уравнениях = ad]^+ х (1.12.20) дается формулой
x(r)= Ad*±(f)-х. (1.12.26)
61
Доказательство. Прежде всего отметим, что ad? • х = 0, так что Ad*(exp
%t)x = х и, следовательно, Ad*(?+) х = Ad*(#_) х. Дифференцируя (1.12.26)
по отношению к t, мы получаем
x(r)=ad.* , •x(r)=ad. , - jc (f).
(f)
Мы должны показать, что g± (t)g^(t) - M± (t) , где M± (t) = +Р± ¦ ?(/), а
?(0 = Vtf(?(r)). Поскольку Н - это инвариантная функция, мы имеем ?(0 =
Ad^±(f) •?. Перепишем (1.12.25) в виде g+ (r)exp(r?) = g_(t) и
продифференцируем его по t. Получаем g+ (t)g~1(t) + Ady (f) •?
= g_ (t)g'J(t). Поскольку g± (t)g± (0_1 e &±, отсюда следует, что g±
(t)g± (t) _1 = +P± ?(0, что и требовалось доказать.
1.13. Полнота инволютивных семейств
В предыдущем разделе мы обсудили различные конструкции инволютивных
семейств функций на дуальном пространстве к алгебре Ли. Доказательство
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed