Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения движения подобных систем во многих случаях допускают
представление Лакса; такие системы обладают высокой симметрией и в ряде
случаев оказываются вполне интегрируемыми,
Естественным аппаратом для изучения этого типа систем является теория
групп и алгебр Ли; такой теоретикогрупповой подход интенсивно
52
развивался в последние годы как для конечномерных, так и для
бесконечномерных гамильтоновых систем. Различные аспекты и обобщения
этого подхода, а также ссылки на статьи, имеющие отношение к данному
вопросу, можно найти в работах [30, 34, 87, 102, 104, 109-111, 122, 181,
182, 216, 223, 271-273, 292, 293].
Перейдем к рассмотрению конструкции этого класса гамильтоновых систем.
Пусть G - произвольная группа Ли, ё - ее алгебра Ли, ё* - пространство,
дуальное к ё , т.е. пространство линейных функционалов на ё . В
пространстве f ( ё*) гладких функций на ё* введем, следуя [54-57], скобку
Пуассона согласно формуле
{F, G} = C'fkxt b'FbkG. (1.11.1)
Здесь Xj - координаты точки х в пространстве ё *, С1/к - структурные
постоянные алгебры ё (относительно деталей этой конструкции см. раздел
1.2).
Пространство § Сё*) приобретает после этого структуру бесконечномерной
алгебры Ли. Величины d'F в (1.11.1) представляют координаты некоего
элемента VF алгебры Ли ё - градиента функции F - и выражение (1.11.1) для
скобки Пуассона теперь можно переписать в бедкоординат-ной форме
{F, G}(x) = <x, [VF, VG]>, (1.11.2)
где {х, ?) - значение функционала х в точке ? ? ё .
В пространстве, снабженном скобкой Пуассона, мы можем рассмотреть
динамическую систему, задаваемую уравнением
х ={Н, х}. (1.11.3)
Расписывая это уравнение по компонентам, получаем
xj=-C'ikxldkH. (1.11.4)
Приведем еще одну форму записи этого уравнения:
х - - (ас!^я) • х, х<Её*, (1.11.5)
где adg (??$) - оператор коприсоединенного представления алгебры
Ли ё :
adg: ё*^ ё*.
Таким образом, уравнения гамильтоновой динамики всегда имеют вид
(1.11.5). Они, однако, не имеют вид уравнений Лакса, поскольку действие
оператора ad? не сводится, вообще говоря, к вычислению коммутатора.
Предположим теперь дополнительно, что на алгебре Ли ё существует
невырожденное, инвариантное относительно присоединенного представления
скалярное произведение, ( , ). В этом случае мы можем отождествить
пространство ё* с Sc помощью соотношения
</, ?> = (у, ?)• - (1.11.6)
Здесь ??$ , у* ? ё* и элементу ? ё отождествляется с _у*. Инвариант-
53
ность скалярного произведения эквивалентна тождеству
(ML в) + (Мс,в])= 0, (1.11.7)
и потому в рассматриваемом случае
{F, С>(jc*) = <jc*, [VF, VC]> = (jc, [VF, VG])=(VG[x, VF]), (1.11.8)
где мы отождествили x* и x с помощью (1.11.6). Уравнения движения
(1.11.4) теперь нетрудно преобразовать к виду
х=[х, Vtf] =-advtf • *, *? Э. (1.11.9)
Таким образом, в рассматриваемом случае динамика разыгрывается в
пространстве '§ и уравнения динамики всегда приводятся к специальному
виду Лакса
х = -[М,х], M=VH. (1.11.10)
Уравнения (1.11.10) являются обобщением уравнений Эйлера, описывающих
вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. В этом случае алгебра Ли
'З - алгебра Ли группы вращений трехмерного пространства, а гамильтониан
Я квадратичен по элементам этой алгебры. Описание вращения и-мерного
твердого тела с помощью таких уравнений было дано впервые Арнольдом [118,
67].
Уравнения (1.11.5) (или (1.11.9)) задают динамику в пространстве 'З*
(соответственно в пространстве $ ). Эти уравнения обычно допускают ряд
интегралов движения, так что реальное движение происходит на некоем
подмногообразии пространства '?* (или *3 ), а именно на орбите
коприсоединенного (присоединенного) представления группы G.
Действительно, рассмотрим множество /($*)(/($)) функций fa(x), таких, что
{/а(4 Xj) = 0 или Cljkxlbkfa- 0, /=1,2, ...,и. (1.11.11)
Эти функции являются инвариантами коприсоединенного (присоединенного)
представления и, как нетрудно видеть, обладают тем свойством, что
{/"(*), Л(лс)} =0 (1.11.12)
для произвольной функции h(x). Это значит, что они являются интегралами
движения для произвольной гамильтоновой системы типа (1.11.5) (или
(1.11.9)) . Приравнивая эти функции постоянным,
fa(x)-Ca, (1.11.13)
мы получаем инвариантное многообразие, которое является орбитой
коприсоединенного представления (или же объединением ряда таких орбит).
Для полной интегрируемости такой системы интегралов {fa}, разумеется,
недостаточно - если динамика происходит на орбите размерности 2и, то
помимо гамильтониана необходимо иметь еще (и - 1) интегралов движения в
инволюции.
Гамильтоновы системы, допускающие дополнительные интегралы движения,
действительно существуют. Описанию конструкции таких систем посвящен
следующий раздел.
54
1.12. Конструкции гамильтоновых систем
с большим числом интегралов движения
В данном разделе дано описание нескольких конструкций гамильтоновых
систем на дуальном пространстве алгебры Ли, допускающих достаточно много
интегралов движения в инволюции. Как известно, любую из таких систем
