Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
положительное, так и отрицательное значение в зависимости от направления
движения. Что же касается параметра k, то он должен быть положительным
для всех значений r<.R, так как координатное время t возрастает с ростом
собственного времени s. В случае же световых лучей константы h п k будут
принимать бесконечные значения, так как для света ds=0.
б) Орбиты частиц. Полученные выше интегралы уравнений геодезической
можно использовать, чтобы выяснить, как будет происходить движение частиц
во Вселенной де Ситтера.
Во-первых, исследуем форму орбиты. Сочетая первое из уравнений (144.4) со
вторым, после некоторых выкладок легко получаем
Непосредственное интегрирование этого уравнения дает аналитическое
выражение для орбит, по которым движутся частицы в деситтеровской
Вселенной. Мы можем, однако, сразу интуитивно оценить вид этих орбит, так
как уравнение (144.5) очень хорошо известно в ньютоновской механике [90].
Там это
^ - - ds г3'
dcp _ А dt k
(144.4)
ds 1 -
d(f =
h dr
(144.5)
§ 144. ПРОБНЫЕ ЧАСТИЦЫ И СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ
359
уравнение соответствует орбите, по которой движется частица в центральном
поле с отталкивающей силой, пропорциональной радиусу. Отсюда ясно, что
орбиты свободных частиц в пространстве де Ситтера, нарисованные в
координатах г, 6, ф, будут заворачиваться таким образом, как если бы
частицы отталкивались от центра.
Рассмотрим теперь скорость движения на орбите. Она, конечно, не будет
такой же, как в упомянутом выше ньютоновом аналоге. Две компоненты
скорости уже получены выше в качестве двух первых интегралов уравнения
геодезической, но они выражены через посредство приращения собственного
временив. Поскольку, однако, при сравнении модели с реальной Вселенной
удобно вообразить себя расположенным в начале координат, а для
наблюдателя, покоящегося в начале координат, собственное время, согласно
выражениям (144.2) и (144.3) для интервала, совпадает с координатным
временем t, то выгодно скорости различных частиц выражать через
посредство координатного времени t. Для того чтобы сделать это,
достаточно исключить ds из уравнений (144.4). Переход к координатному
времени t позволяет выразить значение двух компонент орбитальной скорости
следующим образом:
dt ~ ± k У R 1 + Я* г" + R*
И
dy й(1 - га/Яа) dt kr*
Из этих уравнений видно, что радиальная скорость обращается в нуль, когда
?2 _ 1 , Д*_Л1 , Л"
а обе компоненты обращаются в нуль при
r-R.
Первое из этих уравнений определяет величину перигелия,т. е. расстояния,
на которое частица ближе всего подходит к началу координат, а из второго
уравнения следует, что частица вовсе прекращает свое движение на
расстоянии R; это расстояние в дальнейшем мы будем называть видимым
горизонтом Вселенной.
В частном случае чисто радиального движения, когда h~0, уравнение для
перигелия приводится к виду
(144.6)
(144.7) частицы
(144.8)
(144.9)
г = RV\ -k\
(144.10)
360
ГЛ. X. космология
т. е. перигелий существует, только если &<1, для больших значений k
частица проходит через центр.
Дифференцируя (144.6) и (144.7), мы можем найти также и ускорение частицы
на орбите. После некоторых преобразований получаем
Согласно (144.11) радиальное ускорение частицы, которая имеет нулевую
радиальную скорость, обязательно положительно в любой точке между г=0 и
r-R. Поэтому свободная частица, достигнув однажды перигелия и начав
двигаться от центра, обратно уже никогда не вернется. Для частицы же
покоящейся в центре, г=0 и h-0, а значит, как легко видеть ускорение
равно нулю. Следовательно, такая частица будет все время оставаться в
центре. Этот результат отнюдь не противоречит ранее высказанному
утверждению, что при выборе системы координат всегда удобно оставить за
собой месте в начале отсчета.
в) Поведение лучей света во Вселенной де Ситтера. Рассмотрим теперь
распространение света в этой модели. Как былс отмечено при обсуждении
интегралов уравнений геодезической
(144.4), параметры h и k для светового луча должны быть бесконечны. В
соответствии с этими значениями параметроЕ уравнение орбиты (144.5)
непосредственно преобразуется в уравнение светового луча деситтеровской
модели
которое по своей форме совпадает с уравнением траектория частицы в
ньютоновской механике [90], когда центральные силы обращаются в нуль.
Далее из уравнения может быть получен интеграл
(а и b - константы), который показывает, что траекториям световых лучей в
выбранных нами координатах соответствуют прямые линии. Это делает
координаты удобными для интерпретации астрономических измерений
расстояний.
Чтобы определить скорость света в модели, мы можем вернуться к формулам
интервала (144.2) и (144.3) и положить
dlL
dp
2rjR2
P/R*
И
d*ф _ 2h dr
dP ~ ~kPTf
(144.12)
<2ф =
dr
(144.13)
r cos ф+аг sin ф-b
§ 144. ПРОБНЫЕ ЧАСТИЦЫ И СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ
361
ds2=0. При этом мы получаем общий результат:
я)"+(>-?) {''(?)' +гЧ'п!0($)'Н,-5Г <14414>
В случае чисто радиального распространения света формула
