Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
стационарными, а не статическими. Это название, однако, не следует путать
с другим термином (см. [36], стр. 244) "стационарный", введенным для
обозначения интервала, в котором метрика g^ не зависит от координаты хА,
причем компоненты gi4, g24, gu отличны от нуля (если эти компоненты равны
нулю, то интервал называется статическим). В дальнейшем мы еще найдем
применение робертсоновской форме интервала де Ситтера (§§ 144 г, 183 и
184).
§ 143. Отсутствие вещества и излучения в деситтеровской Вселенной
Теперь мы должны обратиться к физическим свойствам деситтеровской
Вселенной, т. е. исследовать вопрос о веществе и излучении в этой модели.
Определение модели де Ситтера, которое позволило в § 136 получить
выражение деситтеровского интервала, было сформулировано в § 134 после
исследования общих условий существования однородных статических моделей.
Согласно этому определению модель де Ситтера - это такая модель, в
которой собственное давление и плотность связаны соотношением
роо+Ро=0. (143.1)
Собственная плотность материи роо по своей физической природе может быть
только положительной или нулем. Давление в принципе может быть и
отрицательным. Однако ни один из существующих видов материи, который мы
здесь представляем себе как идеализированную жидкость, даже если примем
во внимание внутренние силы сцепления, не может создать такое
отрицательное давление, которое в принятых единицах хотя бы отдаленно
приближалось по абсолютной величине к плотности. Следовательно, условие
(143.1), очевидно, может выполняться только в том случае, если
одновременно
роо=0 и Ро-0-
(143.2)
23*
356
ГЛ. X. космология
А это означает, что Вселенная должна быть абсолютно пустой, т. е. она не
может содержать заметного количества вещества или излучения.
Вследствие того, что р0о оказывается равной нулю, уравнение (136.4),
связывающее космологическую постоянную и радиус Вселенной, упрощается.
Постоянная R в деситтеровском интервале
ds2 = - - r2d№ - г2 sin2 6 drp2 + (1 - j^jdt2 (143.3)
выражается через космологическую постоянную следующим образом:
3^=4. (143.4)
Поэтому деситтеровская модель может быть пространственно закрытой, если
Л>0, может выродиться в открытое плоское пространство специальной теории
относительности, если Л-О, и может оказаться открытой, но искривленной,
если Л меньше нуля. В дальнейшем мы будем полагать Л положительным и R
действительным, что соответствует закрытой модели.
Интересно отметить в согласии со (143.4), что внешнее шварцшильдовское
решение (96.3)
ds2 =-------2т "Лг*~ ~ rW ~ г*sin2 6 d(p2 + ( 1 ~ Т ~ S)dt2
(143.5)
для статического поля в пустом пространстве вокруг материальной сферы
переходит в деситтеровский интервал ds2 абсолютно пустой Вселенной, если
массу m материальной сферы, помещенной в начале координат, устремить к
нулю. Выражение
(143.5) интересно тем, что оно представляет собой конкретный, хотя и
не бог весть какой важный, пример интервала в неоднородной модели.
§ 144. Пробные частицы и световые лучи в деситтеровской Вселенной
а) Уравнения геодезической. Как было показано, деситтеровский интервал
отвечает абсолютно пустой модели; поэтому, если внести в нее такое
количество вещества и излучения, какое имеется в реальном мире, это
вызовет существенные искажения, о чем будет еще идти речь впереди (§
183). Однако, чтобы изучить гравитационное поле внутри модели, в нее
нужно
§ 144. ПРОБНЫЕ ЧАСТИЦЫ И СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ
357
вносить лишь пробные частицы и световые лучи, что, конечно, не
возбраняется.
Движение пробной частицы и распространение светового луча определяются
уравнениями геодезической
й%Х° Л- Г° d3Cl1 ^ О I I 4 Л 1 л
+ = 0 (144-П
Взяв деситтеровский интервал в общем виде:
ds2--e%dr2-r2d 02-г2 sin20 dq>2-\-evdt2, (144.2)
где
о~~У* - aV - 1 ____________ ____
R2
X = ev=]_L5, (144 3)
и подставив в уравнение геодезической символы T?v из формул (95.2),
получим четыре уравнения при о-1, 2, 3, 4:
? ^ % (§)'- [if - в - [if+i е- % Щ - 0.
S+7iS--""<="e(g)r-o.
as2 г ds ds ^ ds ds
d2t , dvdrdd "
ds2 dr ds ds
Однако без ущерба для общности эти уравнения можно упростить, если так
выбрать координаты, чтобы интересующее нас движение происходило
первоначально в плоскости 0=я/2. Тогда, согласно второму из приведенных
выше уравнений, движение будет все время происходить в этой плоскости, и
уравнения приводятся к следующему виду:
d2L + ±dh(drу _ * / Лр\" ^ 1 v_x dv /dA2 = 0
ds3 ^ 2 dr [ds J re [dsj ' 2е dt [dsj
d2q> . 2 dr dtp _ -ds2 r ds ds '
- -- - П
ds2 ' ds ds
Первые интегралы, соответствующие этим уравнениям, легко получить, так
как форма интервала (144.2) сама дает один
358
гл. х. космология
интеграл, а решения второго и третьего уравнении легко угадать. В
результате получаем
где Л и k - постоянные интегрирования. Наконец, подставляя два последних
уравнения в первое и вводя вместо величин А, и v их выражения из (144.3),
получаем уравнения движения в следующем виде:
Легко видеть, что согласно этим уравнениям постоянная h может иметь как
