Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
некое утверждение, позволяющее определить тот тип космологической модели,
к изучению которого мы собираемся приступить*). При этом нужно все время
иметь в виду, что гипотеза пространственной изотропии не обязательно
должна согласоваться со всеми фактами в реальной Вселенной и что, даже
если полученная с ее помощью модель окажется в состоянии объяснить
некоторые космологические явления, все равно нужно быть всегда готовым
внести в нее поправки, которые могут улучшить теорию или сделать ее
применимой к более широкому кругу явлений. К этому замечанию мы еще
вернемся впоследствии.
§ 148. Вывод формулы интервала из предположения о пространственной
изотропии
Дадим теперь подробный вывод общей формулы интервала для того класса
моделей, которые мы собираемся обсудить. Согласно гипотезе изотропии
можно, очевидно, с самого начала так выбрать систему координат, чтобы
интервал был сферически симметричен относительно начала отсчета. При этом
начало отсчета можно поместить в какой угодно точке, лишь бы она была
неподвижна относительно непосредственно окружающей ее материи. Кроме
того, имея в виду дальнейшее, удобнее всего принять- и мы, очевидно,
можем это сделать,- что наша система
*) Этот подход отличается от точки зрения Милна [97], который
однородность Вселенной считает фундаментальным принципом, позволяющим
вывести даже законы гравитации.
§ 148. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ИНТЕРВАЛА
371
координат является сопутствующей, иными словами, ее пространственную
часть можно представить в виде сетки, ячейки которой выбраны так, что они
объединяют ближайшие частицы (туманности) модели и движутся вместе с
ними. Наиболее общее сферически симметричное выражение для интервала в
сопутствующей системе отсчета имеет вид
ds2=-eKdr2-e^(r2dQ2-\-r2 sin20 dq>2) +ev<#2+2adr dt. (148.1)
Мы начнем наше исследование именно с этой формы интервала, вместо того
чтобы брать за исходный пункт более простые выражения, выведенные в §§ 94
и 98. Дело в том, что мы выбрали сопутствующую систему координат, и
поэтому потребуется специально обсудить, можно ли вводить какие-либо
упрощения, не нарушая предположения о сопутствующем характере выбранной
системы отсчета. Легко, однако, показать, что сопутствующую систему
координат можно преобразовать таким образом, чтобы она не перестала быть
сопутствующей и в то же время выражение для интервала приняло более
простой вид - такой же, как в § 98.
Преобразования координат, которые не нарушают сопутствующего характера
системы отсчета, должны сохранить следующие соотношения:
<1482>
ибо в сопутствующей системе координат пространственные компоненты
"скорости" частиц должны равняться нулю.
Не нарушая соотношений (148.2), можно ввести новую времениподобную
переменную i', определяя ее соотношением
dt'=ri(adr+e''dt). (148.3)
Здесь т] - интегрирующий множитель, который превращает правую часть
(148.3) в полный дифференциал. Согласно (148.3) имеем
evdt2 + 2adrdt = ~-^-dr2. (148.4)
rfey e
Подставляя (148.4) в (148.1) н опуская штрихи, получаем новое выражение
для интервала:
ds2=- еЧг2-e"{r2dQ2+r2 sin2 0 dip2) +e*dt2, (148.5)
где Я, ц, v являются функциями г и нового t. Соотношения
(148.2) выполняются по-прежнему, поскольку г, 0, ф - те же
24*
372
ГЛ. X. космология
самые переменные, что и прежде. В результате преобразования мы привели
интервал к виду, который был исследован Динг-лем (§ 100).
Чтобы произвести дальнейшие упрощения, рассмотрим компоненты
гравитационного ускорения, испытываемого свободной пробной частицей в
нашей модели. Эти компоненты определяются из уравнений геодезической
(74.13) и для случая частицы, покоящейся относительно г, 0 и ф, равны
d*r Г1 (dty d*Q , (dt\* d*q> -рЗ (dty ,малч
d? = -T"[Ts)> W = -1"[dk)' dF = -T"[d*)- (>48-6*
Так как эта пробная частица покоится относительно сопутствующей системы
координат, то она должна также покоиться и относительно локального
наблюдателя, который движется вместе с непосредственно окружающей его
материей. Однако, согласно нашей гипотезе об изотропии пространства,
физические результаты, получаемые таким наблюдателем, не должны зависеть
от направления. Следовательно, ускорения могут быть равны только нулю*).
Мы приходим к выводу, что три символа Кристоффеля в (148.6) должны также
равняться нулю. Но из формул Дингля (100.2) тогда сразу же следует, что
dv dv dv
dr = 60 ~ dq> = °'
Эти условия накладывают ограничения на величину v, которая входит в
выражение для интервала (148.5). В частности, отсюда следует, что v
зависит только от t, и это позволяет, не нарушая сопутствующего характера
системы координат, ввести новую временную координату ?, определяемую
следующим образом:
t' = \ e"v dt. (148.7)
После этого преобразования выражение для интервала приводится к виду
ds2=-exdr2-e"(r2dQ2+r2sin2Q dcp2) +dt2, (148.8)
откуда видно, что пространство - время удалось разделить на собственно
пространство и ортогональное ему универсальное
*) То, что система координат является сопутствующей, не может в общем
