Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
случае служить необходимым условием для равенства нулю ускорения, так как
сила тяжести может быть уравновешена градиентом давления.
§ 148. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ИНТЕРВАЛА 373
время t без привлечения дополнительных гипотез. Из выражения
(148.8) следует также, что время, измеряемое локальным наблюдателем,
расположенным неподвижно относительно окружающей его материи, совпадает с
собственным временем:
t=t0,
а измеряемые этим же наблюдателем собственные расстояния между имеющимися
в модели частицами равны
Ы1 = е1гХЬг, 6/2 = е 60, 6/3 = е 2jlr sin0 8(p
при условии, что в модели приращения координат остаются постоянными.
Далее, можно определить относительные скорости изменения собственных
расстояний в зависимости от изменения собственного времени:
J-ln blL = ~, ~1пЫ" = J-In 6/3 = 4-
оfft 1 2 at ot0 *¦ dt0 3 2 at
откуда сразу же, если учесть, что мир для локального наблюдателя
пространственно изотропен, следует очень полезное равенство:
$-#• 048.9"
Этот результат показывает, что формулу интервала можно упростить еще
больше, если воспользоваться преобразованием
ИЛИ
In
r' _ ^ elua-n)dr
(148.10)
От этой подстановки система координат не перестает быть сопутствующей,
так как если в первоначальной системе координат скорость частицы dr/ds
равна нулю, то и в новой системе координат скорость частицы dr'jds,
определяемая выражением
LA1 - А
г' ds ~~ дг
'МЯ.-Ц) dr
dr д_ ds + dt
>М\ -р.) dr Г
dt_
ds
д_
дг
dr . 1
ds 2
374 гл. X. космология
тоже будет равна нулю согласно равенству (148.9). Подставляя
(148.10) в (148.8) и опуская штрихи, получаем простое выражение,
которое совпадает со вторым вариантом формулы интервала из § 98:
ds2--ell(dr2-\-r2dQ2-\-r2 sin2 0 Лр2) -\-dt2, (148.11)
где р. теперь является функцией новых rat.
Чтобы продолжить вывод, рассмотрим снова выражение для собственного
расстояния
б/0 = е !|i6г
между имеющимися внутри модели дву^я частицами, разделенными постоянным
координатным промежутком б г. Относительная скорость изменения расстояния
б/о при изменении собственного времени равна
д In 6/0 1 бр
' dt0 ТдГ'
но, согласно предположению о пространственной изотропии, эта величина не
должна, с точки зрения локального наблюдателя, ни возрастать, ни
уменьшаться при изменении г. Отсюда следует:
д д 1п6/0 1 сГф _ JO
д?^Г0------2дГШ-°' (1x8.12)
а значит, р, представляет собой сумму двух функций, каждая из которых
зависит только от одного из аргументов г или t:
Mr,t)=f(r)+g(t). (148.13)
Подстановка (148.13) в (148.11) приводит к более конкретному выражению
для интервала:
ds2 = - e!ir)+gU) (dr2 + rW + г2 sin2 0dcp2) +dt2. (148.14)
Чтобы сделать следующий шаг, можно воспользоваться из-
вестной теоремой римановой геометрии (теоремой Шура), из которой следует,
что если подпространство (г, 0, <р) при постоянном t изотропно в каждой
точке, то оно с необходимостью и однородно, а это позволяет заменить еНт)
решением известного вида. Однако, чтобы сделать результаты физически
более наглядными, мы пойдем другим путем.
Рассмотрим выражение для тензора энергии - импульса
(98.6), полученное в § 98 на основании формулы интервала ds2,
$ 148. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ИНТЕРВАЛА
375
определяемой уравнением (148.14). Легко видеть, что отличны от нуля
только следующие компоненты.
8я71 = - (т + т) + ^ + Т g'2 " Л'
8я71 = 8л71 = - е~"(^ + Ц + Ё + |g3 - Л, (148.15)
О г* ./'* , 2П . 3 "i Л
8лТ( = - е П + -j- + 7 I -г -j g2 - Л,
где
(ПС t)=f(r)+g(t),
штрихи означают производные по г, а точки - производные по t. Конечно,
эти формулы дают компоненты тензора энергии - импульса в заданной системе
координат (г, 0, ф, t). Однако систему координат можно при желании
изменить. Пусть в некоторой точке имеется неподвижный относительно (г, 0,
<р) локальный наблюдатель. Собственную систему' этого наблюдателя {хо,
Уо, z0, t0) можно выбрать таким образом, чтобы соотношения
dx0 = e't^dr, dya = е 2,lr dQ, dz0 = е'/жг sin 0 dcp, dt0 - dt
выполнялись в окрестности этой точки. При этом, если согласно общим
правилам преобразования тензоров привести указанные выше компоненты к
собственным координатам наблюдателя, то окажется, что тензор энергии -
импульса в новых координатах будет иметь тот же вид. Например:
1 дХ0 ГТ^Х 1 II 'T'l ipl
Следовательно, выражения (148.15) дают компоненты тензора энергии -
импульса и в собственной системе координат, используемой локальным
наблюдателем, неподвижным относительно окружающей его материи. А так как,
по нашему предположению, мир является пространственно изотропным для всех
наблюдателей подобного рода, то это значит, что измеряемые натяжения
должны быть симметричны относительно направлений х, у иг. Иными словами,
Г} = 71 =71, (148.16)
откуда, с учетом (148.15), получаем уравнение, определяющее
376
ГЛ. X. космология
вид функций /(г):
ri + L = H + L
4 г 2 ' 2т'
В качестве первого интеграла этого уравнения имеем
df
Тг = °'ге '
где с 1-постоянная интегрирования. В качестве второго интеграла получаем
<148Л8>
