Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
первоначально и предполагал Эйнштейн), то мы должны будем заключить из
прк-приведенных выше уравнений, что
А = (139.7)
к
4яРоо = (139.8)
и согласно (138.10) полная масса Вселенной при этом оказывается равной
м = Роо^о = 4" (139.9)
С другой стороны, если предположить, что пространство заполнено только
излучением, для которого отношение плотности к давлению имеет
максимальное значение (по сравнению с какими-либо другими видами
материи):
Роо - Зро,
то можно получить, что
А=2|г (139.10)
и
4яРо ~ 4^2 > 4яРоо = 4^2 • (139.11}
На примере уравнений (139.8) и (139.11) еще раз видно, что,
как было впервые упомянуто в § 110, излучение приводит
к большему искривлению пространства, нежели обычное вещество с той же
плотностью.
Наконец, если мы предположим, что пространство совершенно пустое, т. е.
р0о и ро оба равны нулю, то
Л - = 0, (139.12)
и эйнштейновская Вселенная в этом случае вырождается в плоское
пространство - время специальной теории относительности.
348
ГЛ. X. космология
Из результатов этого параграфа можно сделать несколько важных выводов.
Во-первых, видно, что общая теория относительности в принципе позволяет
строить модели со свойствами, похожими на свойства реальной Вселенной,
хотя бы уже в том, что они могут содержать материю, распределенную
однородно и с конечной плотностью. Во-вторых, поскольку R2 должен быть,
как легко видеть, положительным и конечным (за исключением вырожденного
случая абсолютно пустой Вселенной), то радиус R должен быть
действительным; а это значит, что эйнштейновская Вселенная неограничена,
но тем не менее замкнута и обладает конечным объемом. Наконец, легко
видеть, что космологическая постоянная Л непременно должна быть больше
нуля, если мы хотим, чтобы модель содержала хоть какое-нибудь количество
материи. Это было, по-видимому, сильнейшим аргументом для Эйнштейна,
когда он ввел в свое уравнение столь неожиданный, хотя формально и
непротиворечивый, космологический член. Если мы в дальнейшем найдем
модели, в которых для описания материи нет необходимости вводить Л-член,
то мы чаще всего будем полагать его равным нулю.
§ 140. Частицы и свет в эйнштейновской Вселенной
Продолжим исследование физических свойств эйнштейновской Вселенной.
Рассмотрим движение частиц и распространение света в этой модели.
Согласно (74.13) движение свободных частиц в гравитационном поле,
соответствующем эйнштейновскому интервалу
определяется уравнением геодезической
Будем главным образом интересоваться тем случаем, когда частицы, по
крайней мере в первый момент, покоятся, т. е. пространственные компоненты
"скорости" частицы dr/ds, dQ/ds и dy/ds равны нулю. Тогда уравнение
геодезической приведется к следующему виду:
ds~
1 Jrrl/Ri ~ rW - г2 sin2 0 dф2 -f dt2, (140.1)
(140.3)
Однако, как следует из общих выражений (95.2) для символов Кристоффеля,
символы вида в случае, когда метрика
§ 140. ЧАСТИЦЫ И СВЕТ В ЭЙНШТЕЙНОВСКОЙ ВСЕЛЕННОЙ 349
определяется интервалом Эйнштейна (140.1), тождественно обращаются в
нуль. Это приводит к заключению, что покоящиеся частицы будут иметь
ускорение, тождественно равное нулю:
= ^ = ^ = <140-4)
и, следовательно, будут и дальше оставаться в покое.
Этот вывод очень важен, так как от эйнштейновской Вселенной нельзя было
бы ожидать, что она будет оставаться в предполагаемом статическом
состоянии, если бы свободные частицы в ней не сохраняли состояния покоя.
Тем не менее, как будет видно дальше, равенства (140.4) не являются
достаточными условиями устойчивости эйнштейновской Вселенной.
Скорость света в эйнштейновской Вселенной можно найти, приравняв нулю
выражение для интервала (140.1). Рассмотрим прежде всего распространение
света в радиальном направлении от центра или к центру:
-W=±V'-lk- (140 5)
Здесь нужно специально отметить, что для локального наблюдателя,
расположенного неподвижно относительно системы пространственных
координат, собственное время s и координатное время t, согласно выражению
(140.1) для интервала ds2, совпадают.
Отсюда легко найти время, необходимое свету, чтобы, выйдя из начала
координат, обойти всю Вселенную и вернуться обратно. Это время равно
!\
4l
dr 2nR, (140.6)
если пространство сферическое, и равно половине этой величины, если
пространство эллиптическое. Интересно, что теоретически в этой модели
оказывается возможной любопытная ситуация: свет может излучиться с
поверхности звезды, обойти Вселенную и снова сфокусироваться в виде
изображения той же звезды. Однако такую возможность не следует принимать
слишком близко к сердцу, помня, что эйнштейновская модель идеализирована
и не отражает реальную Вселенную достаточно правильно.
Самое важное следствие из формулы скорости света
(140.5) -это то, что в однородной модели Эйнштейна нельзя
350
ГЛ. X. космология
ожидать сколько-нибудь заметного систематического красного смещения
света, приходящего от удаленных объектов. Действи-тельно, рассмотрим
наблюдателя (будем для удобства считать, что он находится в начале
