Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
эйнштейновском, случае:
v'=0. (135.1)
Интегрируя это уравнение и помня, что при малых г интервал ds2 должен
быть таким же, как в специальной теории относительности, т. е. v=0,
получаем единственное решение:
v = const=0. (135.2)
С другой стороны, подставляя (135.2) в уравнение для давления (134.2) и
решая его, получим
е~х- 1 - (А-8лр0) г2. (135.3)
Если теперь для удобства определить новую константу R-.
Л - 8лр0 = -^тр, (135.4)
то для интервала ds2 можно написать окончательное выражение:
А г2
ds2 = - j 2. ~ r2dQ2 - г2 sin2 в dtp2 + dt2. (135.5)
Это - одно из хорошо известных выражений для интервала ds2 в статической
эйнштейновской Вселенной [81], и мы в дальнейшем еще раз вернемся к нему,
чтобы обсудить некоторые его свойства.
342 гл. х. космология
§ 136. Интервал в пространстве де Ситтера
Теперь рассмотрим выражение для деситтеровского интервала ds2. Оно
соответствует случаю, когда выполняется равенство
роо+/°о=0' (136.1)
Сложив выражения (134.2) и (134.3) для роо и ро и приравняв их сумму
нулю:
8л (Роо + Ро) = е~х i~ + 7-) = 0.
получим уравнение Л'=-v'. Так как К и v должны обе обращаться в нуль при
г=0, чтобы интервал ds2 при г=0 переходил в интервал специальной теории
относительности, это возможно лишь при
*,=-V. (136.2)
С другой стороны, роо должна быть всюду одинаковой, т. е. константой,
поэтому уравнение (134.3) легко интегрируется, и в результате получается
решение, которое нетрудно проверить прямой подстановкой:
_ _ х 1 _ Л 4- 8зтр00 2 .
е - 1 з г т ,
где А - постоянная интегрирования. И, опять используя тот факт, что при
малых г выражение для ds2 должно быть таким же, как в специальной
теории относительности, где a=v = 0,
мы с необходимостью приходим к выводу, что А = 0.
Отсюда,
вспоминая (136.2), мы сразу получаем
е-\ = ev = i _ Л_+ 8"Ро. Л2, (136.3)
Это позволяет написать окончательный результат для интервала ds2.
Определив для удобства новую постоянную R с помощью выражения:
A±|gPoa. = -±-, (136.4)
перепишем ds2 окончательно в виде
as2 = - ^ _^V5 - гЧ62 - г2 sin2 9 dif2 + (l -~^г2. (136.5)
В результате получено одно из хорошо известных выраже-
ний для деситтеровского интервала ds2 [82], и мы впоследствии вернемся к
нему, чтобы обсудить некоторые его свойства.
§ 138. ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ ЭЙНШТЕЙНА
343
§ 137. Интервал в специальной теории относительности
Наконец, мы можем перейти к третьему варианту статической однородной
Вселенной, в котором согласно (134.8) требуется выполнение обоих
равенств:
v'=0, роо+Ро^^О. (137.1)
Здесь, однако, мы можем считать, что справедливы и уравнение (135.2)
эйнштейновской модели и уравнение (136.2) деситтеровской модели; поэтому
в качестве полного решения можем взять
^=v = 0, (137.2)
что приводит к интервалу специальной теории относительности
ds2--dr2-r2dQ2-г2 sin20 d<$2-\-dt2, (137.3)
который соответствует абсолютно пустому плоскому пространству-времени
специальной теории относительности.
Итак, в согласии с § 134 мы описали все три возможные статически
однородные Вселенные*), поэтому, когда в дальнейшем станет ясно, что ни
один из этих вариантов не дает удовлетворительного отображения реальной
Вселенной, нам придется обратиться к моделям более широкого класса.
Теперь можно сделать краткий обзор некоторых важнейших свойств
эйнштейновского и деситтеровского интервалов (интервал специальной теории
относительности является их частным случаем и получается при стремлении
постоянной R к бесконечности). Это будет интересно не только с точки
зрения истории, но и потому, что позволит глубже понять более адекватные
модели, к которым нам придется обратиться в дальнейшем.
§ 138. Геометрия Вселенной Эйнштейна
Интервал, соответствующий Вселенной Эйнштейна:
^ = - 1~1~ r4Q2 - f2 sin2 0 dip2 + dt2, (138.1)
бывает иногда полезно переписать в другом виде путем преобразования
координат. Это нужно либо для того, чтобы
*) В доказательстве того, что интервалы Эйнштейна, де Ситтера и
специальной теории относительности исчерпывают все возможные варианты
статического решения, мы следуем работе Толмена [83]. Более раннее
доказательство содержится в работе [84], а доказательство того, что нет
никаких Других дополнительных стационарных решений в смысле § 142, см. в
[85].
344 гл. X. космология
получить более удобное выражение, либо для того, чтобы лучше понять
порождаемую им геометрию пространства.
Так, подстановка
' = (138-2>
приводит выражение (138.1) к изотропному виду:
dS2 = ~ (Г+ P'/4W (ф2 + pW + р2 51П2 9 ^ф2) + dP- (138'3)
В свою очередь (138.3) с помощью очевидных преобразовании можно
переписать следующим образом:
ds2 = - (1+р44RT {dX* + dlf + ^ + dtK (138'4)
Подстановка
r-Rsin% (138.5)
в (138.1) приводит к выражению
ds2 --R2(d%2-{-sin2%d02-f sin2x sin20 dq>2) -f dt2. (138.6)
Наконец, если перейти к большему числу переменных с помощью уравнений
= R ]/1 - -^r, z2 = г sin 0 cos ф, z3 = г sin 0 sin ф, z4 = г cosO,
(138.7)
где
z1 + zl+zl+zl = R2, (138.8)
то интервал ds2 можно записать в виде
