Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
лет*).
Самой неудовлетворительной чертой эйнштейновской модели Вселенной
является отсутствие красного смещения света от удаленных объектов,
которое в реальной Вселенной, согласно Хабблу - Хыомасону, имеет место и
возрастает приблизительно пропорционально расстоянию до светящегося
объекта. В основном именно этот дефект заставляет нас отказаться от
статической модели при построении космологических теорий и обратиться к
моделям нестатическим.
В дальнейшем мы обнаружим, что с указанным недостатком статической модели
Эйнштейна связано то обстоятельство, что эйнштейновская Вселенная вообще
не может быть стабильной. Конечно, как мы видели в § 140 (см. (140.4)),
сводобные частицы не будут ускоряться, если они находятся в покое.
Однако, как будет показано в дальнейшем, эйнштейновская Вселенная станет
неудержимо сжиматься, если вещество начнет переходить в излучение, или
же, наоборот, станет неудержимо расширяться, если излучение начнет
переходить в вещество. И мы
*) Сейчас астрономы регистрируют большие объекты (квазары) на расстояниях
примерно до 1010 световых лет. (Прим. ред.)
§ 112. ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ ДЕ СИТТЕРА 353
увидим, что, вообще, гораздо легче построить большое разнообразие
сжимающихся и расширяющихся моделей, чем статическую модель, так как для
существования последней должны выполняться исключительно жесткие
требования.
§ 142. Геометрия Вселенной де Ситтера
Так как эйнштейновская Вселенная, будучи полезной для понимания
релятивистской космологии, все же не дает удовлетворительного описания
реальной Вселенной, то приходится обратиться к изучению другой модели -
модели де Ситтера, представляющей еще один вариант статической Вселенной.
Преобразованием координат первоначальное выражение для деситтеровского
интервала
ds2 = - - rW - г2 sin3 Qdq2 -f ^1 - ^jdt2 (142.1)
иногда полезно переписать в другом виде. Это бывает нужно либо для того,
чтобы получить более удобное выражение, либо для того, чтобы лучше понять
присущую ему внутреннюю геометрию. После подстановки
r-R sinx (142.2)
получаем
ds2=-R2d%2-R2 sin2 % dQ2-R2 sin2 % sin2 0 cf(p2-t-cos2 % dP- (142.3)
Эта формула часто используется при изучении деситтеровской Вселенной.
Однако более интересный результат можно получить введением пяти
переменных:
a=rsin0coscp, f> = rsin 0 sin ф, v = rcos0,
6-fe = Ret R У 1 - r2/R2, 6 - e = Re~< * У 1 - r2/R2,
(142.4)
что позволяет переписать интервал в виде
ds2 = -da2-d$2-dy-d82-\-de2 или, после еще одного преобразования:
zi = ia, г2=ч'р, z3 -z4=/6, z5 - e, (142.5)
в виде
ds2 - dzi -j- dz2 -j- dz3 у dzl -J- dzf, (142.6)
где для переменных z вследствие (142.4) должно выполняться
соотношение
4 -i- Z2 + z\ + г\ 4 -= (*Я)а (142.7)
23 р т"
Голмен
354
ГЛ. X. космология
Это соотношение определяет пространство - время как четырехмерную
поверхность в пятимерном многообразии и позво ляет рассматривать
геометрию Вселенной де Ситтера как геометрию на сфере, погруженной в
пятимерное евклидово пространство. При этом, так же как и в
эйнштейновском случае, мы получаем дополнительное подспорье для понимания
существа однородности деситтеровской модели. Однако следует отметить, что
формальная простота выражения для интервала
(142.6) достигается за счет физики. В выражении (142.6) мы не можем
уже физически отличать пространственноподобные интервалы, измеряемые с
помощью линейки, от интервалов времениподобных, измеряемых с помощью
часов.
Наконец, рассмотрим интересное и важное преобразование координат,
открытое независимо Лемэтром [87] и Робертсоном [88] (Робертсон
исследовал это преобразование наиболее полно) . Оно имеет следующий вид:
г = т e~i R, t = t+ R ln]/l - г2//?2, (142.8)
У 1 - r2;R2
и приводит к выражению для интервала
ds2 = - e^IR (dr2 -j- r2d02 г2 sin2 Qd Ф2) - dl2.
Если опустить черту над гиги ввести для простоты
то интервал можно переписать следующим образом:
ds2= - e2ki (dr2-\-r2d02+r2sin20 dq>2)-\-dt2, (142.10)
или, после еще одного очевидного преобразования, несколько иначе:
ds2 --e2ht (dx2-\-dy2-\-dz2) +dt2. (142.11)
Из последней формулы видно, что гравитационные потенциалы guv уже не
являются не зависящими от координаты t. Это, однако, не должно особенно
смущать, так как подобного рода зависимость статического интервала от
времени возникает всегда при преобразовании системы отсчета, если новые
координаты зависят не только от пространственноподобных, но и от
времениподобных старых координат*). Однако, как показал
*) Другую нестатическую форму для интервала можно найти в работе [89].
§ 143. ОТСУТСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ИЗЛУЧЕНИЯ
355
Робертсон, в данном случае свойства пространства, определенного с помощью
(142.10), в некотором смысле не зависят от нового времени t, так как
преобразование
г = re*'*, t = t - t0,
которое можно интерпретировать как изменение пространственного масштаба в
комбинации со сдвигом начала отсчета вре-мениподобной переменной,
оставляет форму интервала неизменной.
Робертсон предложил называть выражения (142.10) и (142.11) для интервала
