Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
и из (232) следует вторая система уравнений Максвелла
(208). Первая система имеет место уже вследствие введения векторного потенциала, и, таким образом, ее существование предполагалось заранее.
126
ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЁОРЙЯ ОТНОСЙТЁЛЫЮСТЙ
2. Поле ср' есть определенная функция координат четырехмерного мира и не варьируется; напротив, мировые линии материи должны варьироваться. Поэтому интеграл от L не вносит ничего в значение вариации; второй интеграл нужно сперва преобразовать. Если de есть элемент заряда, относящийся к определенному элементу материи, и т—собственное время соответствующей мировой линии, отсчитываемой от какой-либо начальной точки, то, учитывая (201), можно написать
J р0 d2 = ic J de J dx; J CpjSi dh = і J de J ср; dx.
Интегрирование ведется по мировому цилиндру, который получается, если на каждой мировой линии материи отложить одинаковую длину. Начальные и конечные точки мировых линий варьироваться не должны. Интегрируя по частям, получаем
tdx^
\ dx dxi dx
¦= — і J de J FHtUhSxi dx,
или
1IzbW = — J FihSkSxi dZ = — I Iibxi dS. (234)
Борн налагает на вариации мировых линий материи дополнительное условие
61 ds = 0. (235)
Согласно § 15, для мировой линии с направлением, везде времениподобным, как это и имеет место, при фиксированных концах и постоянных gih:
I CduI
6 J dx = -L J Sxi dx, (236)
Поэтому из (232) на этот раз получаем HoduJdx = Д,
где Цо — постоянный мпояштель Лагранжа. Это соотношение совпадает с (221), если считать цо плотностью массы покоя. Как и в § 29, мы здесь отвлеклись от собственного поля рассматриваемой частицы.
§ 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 127
Вейль [154] в отличие от Борна не накладывает дополнительные условия (235), но добавляет к функции действия член
2 J ц0с2 dZ — 2'ic j" dm -c2 j" dv и получает
W1 = 2 J H0C2 dZ + W< 6WX = 0. (231a)
Вследствие (234) и (236) отсюда также следует уравнение (221).
§ 32. Применения к специальным случаям
а. Интегрирование уравнений для потенциалов. Как известно, дифференциальные уравнения (207) и (209), если s' заданы как функции пространства и времени, имеют решения вида (см. [132], § 5, уравнения (XI) и (XII))*)
- WdrI
4л г р q * * tJ 4яг pQ
(237)
В этих выражениях для потенциалов не использована симметрия дифференциальных уравнений относительно пространственных и временных координат. Последнее имеет, однако, место в найденном Герглотцем [155] еще до создания теории относительности методе, отправным пунктом которого является частное решение уравнений
(209): I/Rpq, где теперь P и Q — две мировые точки, a R — четырехмерное расстояние между ними. Путем умножения на подходящую функцию s(Q) и интегрирования по контуру, окружающему луч (tp, «>) в комплексной ?<}-плоскости, Герглотц получил обычное выражение для потенциалов. Преимущество этого метода заключается в том, что при вычислении напряженностей поля можно сперва дифференцировать, а потом уже проводить интег-
*) Мы отвлекаемся от неоднократно, начиная с Ритца, обсуждавшейся [24] возможности решения в виде опережающего потенциала (в формулах t -j-r/c вместо t — г/с).
128 ГЛ. XII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
рирование по контуру, вследствие чего расчет делается более наглядным. Под влиянием теории относительности Зоммерфельд [156] позже модифицировал и развил метод Герглотца.
Для точечного заряда (273) переходит в формулу для потенциалов Лиенара — Вихерта ([132], § 17, уравнение (70))
где гр есть вектор, соединяющий точку, в которой находится заряд в момент t — rPjc, с точкой Р. Этот вектор, согласно Минковскому ([64], III), имеет простой смысл в рамках четырехмерной интерпретации. Пусть
есть мировая линия заряда как функция его собственного времени, а Р, как и раньше, мировая точка наблюдения. Проведем через P ту полость мирового конуса, которая направлена в прошлое. Мировая линия заряда пересекает его в определенной точке Q и при этом в одной единственной точке, если направление линии всегда временипо-добно. Если Xі суть координаты точки наблюдения P и
точка Q, а значит, и соответствующее значение т, определены как однозначные функции от х'\
Выражения (238) для потенциалов на основании (205) и (190) можно теперь записать в виде одного соотношения:
Вычисление напряженностей поля существенно упрощается вследствие введения собственного времени. Из (241) находим сперва производные от функции (242) по координатам хк точки Р:
С
С
(238)
Ii = IiW
(239)
(240)
то из требования XiXi = о
(241)
Xq = S(Xi).
(242)
4яфг = —euJ{urXT).
(238а)
Xi (б/j — UiOxjdxh) = 0; Oxjdxh = Xhj(Xrur). (243)
§ 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ
129
Дальнейший расчет совершенно элементарен и дает
Если в точке наблюдения поместить второй заряд ё, скорость которого равна Ei, то из (216) получаем силу К, с которой первый заряд действует на второй. Для силы Минковского — чотырехмерного вектора, определенного выражением (219), получаем
4лмKi =AneFihUk =
