Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
3
ds2 = gi4(dx4)2 2 gu (dx1)2,
І = I
где
if 44 = I + s/. ]
I ., і } (4.207)
Sn — — (I + e^), J
причем s — малая постоянная, квадратом и более высокими степенями которой можно пренебречь, а / и h — функции только трех пространственных координат. Как и в случае пространства-времени Минковского, мы будем предполагать что s и X4 имеют размерность времени, а х1, х2, х3 — размерность длины. Поэтому є/ и eh являются безразмерными величинами. В силу (4.207),
? = —*r(l+3eA)(l+e/), и, следовательно,
P44==I—е/, gu = —с2 (1—s/г), 1
^=O. (і*,). I (4'208)
Поэтому тензор энергии (4.104) имеет следующие составляющие:
' 7м4 = (р + («4)2 — -^ (1 — вД
(4.209)
Tu =(р+?)(«г)2+М1-^),
^Цр + тИ ^m-
106
Глава IV. Принципы общей теории относительности
Вычисление тензора Эйнштейна для этого частного случая проще всего провести, если исходить из тензора Римана— Кристоффеля (2.504). Поскольку в символы Кристоффеля входят только частные производные от g , символы Кристоффеля будут порядка є; следовательно, произведения символов Кристоффеля будут иметь порядок B2 и ими можно пренебречь. Таким образом (2.504) сводится к
R. + _____*%. \ (42Ш)
2 \ дх dxv' дх'1 дхх Oxv- дх1 дх‘ дх' )
Компоненты этого тензора также имеют порядок г. Тензор Риччи равен
Rkv. = SnRxlv-I — ^4X^4 (^lX,j.l + RikvS. + R^. (4.211)
так как члены порядка є в gv-* в выражении (4.208) будут давать члены порядка є2 в R1^. Используя (4.207), (4.210) и (4.211) и полагая
у2—______д2 _|_____—_____і____—— (4 212)
(д.*1)2 ^ (дх2)2 (дх3)2 ’
мы получаем, что
?44 —---Y=LVV.
A44=-I8^V8/. Яи = 0,
Ru=LJ*V±*L±i2h
11 2 1 (дх1)2
р ^ I . d2(f+h)
lm 2 дх1 дхт Поднимая один нижний индекс, имеем Ri = S1V= -у MjVV,
Ri = BaRu = - = { a^/+,а| + Wi'
и, следовательно,
3
я: = +?/?/ = — ecV(/ + 2A). (4.213)
§ 4.2. Физический смысл постоянной х
107
Поднимая оба нижних индекса, получим
Rii = —^-ec2V2/, R1* = 0,
Ru =rl eC4(^iZ±A_|_v2ft|,
2 I (дх1)2 ^
Rlm_ I =g4 d*(f+h)
2 dxldxm
(4.214)
Поэтому, используя (4.106), (4.209), (4.213) и (4.214), получаем следующие уравнения Эйнштейна с Л = 0:
— ^2 { (р + -J).(«4)2 - ? (I - ef)} = SC2V2A, (4.215)
— ^c2 (р +и1 Ui = 0, (4.216)
— *c2{(p + -Jr)(«Z)2 + P(l —е/г)| =
=гс,{^ё^-уг(/+/!)Ь <4'217)
-«г{(р + і)А»} = 1„.^Я±а, (4.218)
где в силу (4.103) и (4.207) 4-вектор скорости удовлетворяет условию
з
(1 + є/)(«4)2_ІІ_?^2(«г)2=1- (4-219)
I = I
Уравнения (4.126) и (4.219) показывают, что
Ui = 0 (г = 1, 2, 3), м4 = I — J в/,
так что распределение вещества находится в покое относительно используемой координатной системы. Поэтому, согласно (4.218),
д2 (f+J0_ __ 0 (4.220)
дх1 дхт
и три уравнения (4.217) приобретают вид
- XCiP(1 — ей) = I вс* { дЯ^А) — V2 (/ + К) j . (4.221)
108 Глава IV. Принципы общей теории относительности
На этом этапе появляется типичное условие, которое будет весьма важным впоследствии. Необходимое условие совместности трех уравнений (4.221) имеет вид
что является ограничением возможного выбора функций / и h, диктуемым алгебраической формой тензора энергии в комбинации с априорным выбором формы (4.207) для метрического тензора. Возникающие таким образом уравнения мы будем называть условиями, совместности-, они не являются тензорными уравнениями, но играют фундаментальную роль в приложениях уравнений Эйнштейна. Уравнения
(4.220) и (4.222), очевидно, удовлетворяются при
и остающиеся уравнения Эйнштейна, согласно (4.215) и
(4.221), имеют вид
Последнее из этих уравнений показывает, что давление равно нулю в пределах принятой нами степени точности. Теперь мы предположим, во-первых, что в общей теории относительности должны фигурировать, помимо Л, две мировых постоянных к и с; и, во-вторых, что общая теория относительности должка сводиться к ньютоновской теории тяготения, когда с отождествляется с ?Р. Первое предположение удовлетворяется, если положить B= 1/с2, что находится в согласии с предположением о малОсти этой постоянной. Второе предположение совместимо с наличием множителя 1/с2 в постоянной У. и с предположением, что р, р, / и h не содержат множителей порядка с2. Тогда ньютоновским приближением к (4.223) служит
— уравнение, которое тождественно уравнению Пуассона
— 4xGp = V2V, если h = 2V, и
д* (/+*)_ d2(f+fi) _ д2 (/ 4- h) (дх1)2 (дх2)2 (дх3)2
(4.222)
/ = -А
— у.р (I -)- eh) = eV2h, у.р( I — eh) = 0.
(4.223)
(4.224)
— Iim (хс2р) = V2Zz
с-> <5"
(4.225)
§ 4.3. Принцип геодезических линий
109
последнее равенство определяет %. Если вместо V используется потенциал <|> — VjATtG, то мы имеем
Метрика пространства-времени статического распределения вещества, ньютоновский потенциал тяготения которого есть X2, X3), имеет, в силу (4.207), вид
при условии, что были опущены квадраты и более высокие степени 1/с2 при раскрытии уравнений Эйнштейна.
§ 4.3. Принцип геодезических линий
В § 3.7 было указано, что времяподобная геодезическая линия пространства-времени Минковского представляет историю движения частицы, подчиняющейся первому закону движения Ньютона. Более того, в § 3.3 было показано, что движение частицы в однородном поле тяготения обладает всеми свойствами движения, подчиняющегося первому закону Ньютона, за исключением того, что движение является ускоренным. Поэтому мы можем предположить, что геодезические линии риманова пространства-времени представляют историю движения частицы, подверженной гравитационному ускорению, — предположение, которое может быть подтверждено исследованием геодезических линий пространства-времени (4.226). Так как метрика ортогональна, применимы уравнения (2.807), и уравнения геодезической линии имеют вид
