Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 28. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
ИЗ
сительно группы преобразований теории относительности. Полностью это доказательство было дано, независимо друг от друга, Пуанкаре [14] и Эйнштейном [15]. Четырехмерная формулировка вопроса принадлежит Минковско-му (Минковский I, см. [64]), который впервые ввел понятие бивектора.
Для того чтобы представить уравнения поля в четырехмерной инвариантной форме, рассмотрим сначала те из них, которые не содержат плотности заряда, т. е. уравнения (см. [130])
rot E -f J- H = 0; div H = O. (В)
Полагая
(F4i, F42, F43) =?Е: (F2з, F3], Fi2) =H (202)
и соответственно в действительной системе (Fik = -Fui), можно записать (В) так:
OFib SFn OFbl
+IJ = 0 <MtF = °> <203>
[CM. (140Ь)].
Из инвариантности выражения (203) относительно преобразования Лоренца следует далее, что система величин F« образует бивектор. Остающийся вначале в формулах преобразования неопределенный множитель может быть исключен многократно упоминавшимся выше способом. Если вместо Fih ввести определяемый согласно (54) дуальный тензор F*,A
(PNlt F*42) f *43) ^JJ.
(F*23) F**it F*'2) = -iE, (202a)
то система уравнений (203) мо?кет быть записана в виде [см. (142) и (141Ь)]
dF*ik/dxh = 0 (div F* = 0). (203а)
Как известно, в обыкновенном пространстве E есть полярный, a H — аксиальный вектор, но не наоборот. Мы должны поэтому считать описание электромагнитного поля с помощью тензора (202) естественным, а описание поля с помощью тензора (202а)— искусственным. У Минковского (Минковский I, см. [64]) приведены оба написания уравнений поля. Первое из них, во многих случаях,
8 В. Паули
114 гл. III, СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
в частности в общей теории относительности, более наглядное и удобное, оказалось впоследствии забытым и, например, не используется Зоммерфельдом [65], Впервые на него вновь обратил внимание Эйнштейн [131] в 1916 г.
Из тензорного характера Fik следуют формулы преобразования напряженностей полей при переходе к движущейся системе отсчета. Скорость v, фигурирующая в преобразованиях Лоренца, может быть здесь произвольным образом ориентирована относительно оси х координатной системы. При этом
Таким образом, разделение поля на электрическое и магнитное имеет лишь относительный характер. Если, например, в системе К имеется только электрическое поле, то в системе К', движущейся относительно К, есть также и магнитное поле. Это замечание устраняет известную трудность, возникавшую при объяснении явления индук-ции, с одной стороны, при помощи движения магнита, а с другой стороны, при помощи движения проводника, в котором индуцируется ток.
Электромагнитные потенциалы теории Лоренца: скалярный ф и векторный А, также имеют простое четырехмерное истолкование. Как впервые было отмечено Мин-ковским (см. [64], Минковский I), они могут быть соединены в один вектор четырехмерного мира — четырехмер-ный потенциал:
(фь ф2, фз) = A, 4 = г'ф. (205)
Выражения для напряженности поля [132]
H = rot A; E = - grad ф------~
принимают при этом вид (см. (140а))'
(204)
(206)
§ 28. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
115
Четырехмерный потенциал представляет собой вспомогательную величину, оказывающуюся часто полезной, но не имеющую в теории Лоренца никакого физического смысла. Первая система уравнений поля — система (203) — является следствием уравнений (206) и, наоборот, если имеет место (203), то векторное поле фі всегда может быть определено так, чтобы удовлетворялись уравнения (206). Этим требованием ф( не определяется, однако, однозначно; более того, если ф< есть решение уравнений
(206) при заданном Fj4, то эти уравнения удовлетворяются также величинами ф( + Btyfdxi, где ij) — произвольная скалярная функция пространственно-временных координат. Поэтому для однозначного определения фі в теории Лоренца (см. [132], § 4, уравнение (2)) добавляется условие *)
div А + Ц. = °,
которое можно записать в четырехмерной форме:
9^- = O (div ф = 0). (207)
Четырехмерное истолкование вектора Герца Z до сих пор не дано.
Вторая система уравнений Максвелла (см .[132], § 2, уравнения (I), (И) и (IV)), содержащая плотность зарядов
rot H----— Ё = р — ; div E = р, (С)
С с
может быть преобразована аналогично системе (В). Из
(198) и (202) непосредственно следует, что
DFikIdzh = s' (div F = s) (208)
(см. (14Ib)). Если определить плотность заряда системой уравнений (С), то сразу очевиден векторный характер системы величин St, что было уже обосновано другим способом ранее. Подставляя в (208) согласно (206) векторный потенциал, получаем (см. (145))
div< rot ф = gradi div ф — Пф( = St
*) Уравнение (207) приводит к тому, что величина 1|) должна удовлетворять уравнению [Ці|> = 0, поэтому утверждение, что <р« условием (207) определяется однозначно, не вполне точно.— Примеч. ред.
8*
116 гл. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
и, вследствие (207),
?ф. = —s(, (209)
Ковариантность уравнений электромагнитного поля относительно группы Лоренца наводит па вопрос о том, нет ли еще более широкой группы преобразований, относительно которой ковариантность уравнений сохраняется. Ответ на этот вопрос был дан Кэннингхэмом и Бэйтменом [133], Наиболее общей группой указанного типа является группа конформных преобразований (см. § 8, и. В'), переводящая уравнение светового конуса
