Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
ds2 == (І _ Хф) (dx*)2 — {(Лс1)2 +
-)- (dx2)2 -j- (dx3)2},
(4.226)
d
ds
щі+
(4.301)
(/=1, 2, 3). (4.302)
HO Глава IV. Принципи общей теории относительности
Первое уравнение может быть проинтегрировано и дает
rj у 4
-^- = р(1+*ф), (4.303)
где р — постоянная интегрирования. Ho первый интеграл (2.808) в нашем случае имеет вид
n 1 VI dxJ\2 і
і=і
и, следовательно,
j=i
Таким образом, уравнение (4.302) может быть записано в виде
(4.304)
Ньютоновское приближение получается при отождествлении с с &, так что в силу (4.226)
S^x4=T, (4.305)
и в этом случае (х1, х2, х3) превращаются в прямоугольные координаты (Xv X2, X3) ньютоновской инерциалы-юй системы. Более того, у. -> SkGISP2 --> 0, -/.с1 ™ 8тгО, и в силу (4.303) и (4.305) (3—>1. Поэтому уравнения (4.304) приобретают вид ^Xi дф dV ,. , „
= (1=1- 2' 3)’ что представляет собой систему ньютоновских уравнений движения частицы в поле тяготения с потенциалом V, причем собственными гравитационными эффектами частицы пре-небрегается.
Этот результат подсказывает следующий постулат: в любом римановом пространстве-времени с метрикой (4.102), представляющем распределение вещества, времяподобная геодезическая линия представляет историю движения частицы (с пренебрежимо малым собственным тяготением) в гравитационном поле этого распределения вещества. Поэтому уравне-
§ 4.3. Принцип геодезических линий
111
ния геодезической линии, записанные в римановых координатах § 2.6, которые локально применимы вблизи любой точки-события, принимают вид
jS1 = 0 <«=>'2,3,4);
движение частицы локально совпадает с движением частицы, подчиняющейся первому закону Ньютона, и применимы результаты § 3.7, относящиеся только к времяподобным геодезическим линиям. Выражаясь физически, можно сказать, что эти локальные римановы координаты образуют систему, которая свободно падает в поле тяготения заданного распределения вещества вблизи рассматриваемой точки-события. Для общей координатной системы (х), в которой метрика риманова пространства-времени имеет форму (4.102), мы определим 4-вектор скорости частицы по аналогии со случаем пространства-времени Минковского как в § 3.7. Если dxajds (а=1, 2, 3, 4) — компоненты единичного тангенциального вектора геодезической линии, представляющей движение частицы, то 4-вектор скорости частицы имеет вид
V* = -^- (о= 1, 2, 3, 4), (4.306)
и этот вектор, будучи единичным, должен удовлетворять, в силу (2.213), соотношению
^v= 1. (4.307)
Историю движения светового луча мы представим нулевой геодезической линией риманова пространства-времени. Это очевидное обобщение соответствующего результата для пространства-времени Минковского, если предположить, что результаты § 3.7 справедливы в римановых координатах. Представление истории движения малых пробных частиц и световых лучей соответственно с помощью времяподобных и нулевых геодезических линий представляет собой принцип геодезических линий.
Согласно сказанному выше, принцип геодезических линий предполагает, что распределение вещества дается тензором энергии, соответствующее риманово пространство-время определяется при помощи уравнения Эйнштейна и сама частица ничего не вносит в распределение, под воздействием тяготения которого она движется. Однако саму малую частицу
Ц2 ГЛ, III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Таким образом, заряд, содержащийся в определенном элементе объема материи, есть инвариант. Тот факт, что полный заряд частицы не изменяется при ее движении, следует, конечно, прямо из (А) и может считаться надежно установленным эмпирически, так как в противном случае электрическая нейтральность атома нарушалась бы от одного изменения движения его электронов. Соотношение (200Ь) означает, кроме того, что заряд любого элемента объема остается инвариантным.
Зоммерфельд [129, 65], напротив, исходя из (200а), следующим образом показывает векторный характер Si. Четырехмерный объем
dV dxA (х4 = ict),
образуемый пространственным объемом dV за время dt, является инвариантом. То же относится, с учетом (200а), к произведению
ipdV.
Так же инвариантное отношение ip/dx4 этих величии после умножения на компоненты вектора dx1, dx2, dx3, dxi дает систему определенных уравнением (198) величин Si, образующих, таким образом, также четырехвектор.
С помощью вектора и‘, используя (190) и (190а), можно придать S1 простой вид
S4 =(1/с)рои(. (201)
Уравнение непрерывности принимает тогда форму
д (ром1) Idxi = 0. (197а)
О доказательстве векторного характера Si на основе уравнений Максвелла см. следующий параграф; об истолковании закона сохранения (197) в теории Вейля см. гл. V, § 65, б.
§ 28. Ковариантность основных уравнений
электронной теории
Еще в § 1 было отмечено, что нековариантность уравнений Лоренца для электромагнитного поля относительно преобразований Галилея явилась одним из главных побуждений для создания теории относительности. В своей работе 1904 г. [13] Лоренц был очень близок к тому, чтобы установить ковариантность этих уравнений отно-