Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
*) Принимая такое толкование, нужно, однако, иметь в виду, что поток импульса может быть не равен нулю, даже если плотность импульса везде исчезает (это имеет, например, место в случае чисто электростатического поля). Для потока энергии подобная возможность отсутствует,
§ 30. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 123
нений (225) на неэлектроыагнитпый импульс см. в § 42). В местах, где на материю действуют пондеромоторные силы, из механического импульса возникает согласно (225) электромагнитный импульс, или наоборот. Аналогично положение с энергией (о попытках представить любые импульс и энергию как электромагнитные см. гл. V). Во всех других местах импульс и энергия электромагнитного поля «текут» как сжимаемая, а в частном случае стационарного поля — несжимаемая жидкость с неизменным количеством вещества.
Тензор Sth относится к плотностям энергии и импульса; нужно выяснить также, как ведут себя полные энергия и импульс системы при переходе к движущейся системе координат. Для общего случая этот вопрос будет рассмотрен в § 42; здесь же ограничимся тем случаем, когда энергия и импульс носят чисто электромагнитный характер, т. е, плотность силы /,• и плотность заряда везде равны нулю, так что имеют место уравнения (см. (225))
Эти уравнения имеют место в случае свободно распространяющейся в пространстве световой волны произвольной формы. Для того чтобы полные энергия и импульс волны были конечны, волна должна заполнять конечную область пространства. В четырехмерном мире этой области соответствует трубка с конечным сечением. Из рассмотрения, проведенного в § 21, следует, что величины S\ после интегрирования по объему образуют компоненты четырехмерного вектора
Согласно (224) эти компоненты простым образом связаны с полным импульсом и полной энергией системы (световой волны):
dS\lдхЪ = 0 (div S = O).
(226)
.(227)
Мы моїкем поэтому сказать, что в этом случае полная энергия и полный импульс образуют четырехмерный вектор. Отсюда немедленно следуют формулы преобразования
124 гл. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(CM. (186) и 187)):
Cx - (vie1) E
VT^
Gx = — л / ^=I—; Gy = Gv; Cz = Gl; (228)
Ти Е -
E
¦і
іЛ-fj
Заметим еще, что вектор Ji ее может быть пространствен-ноподобньш. Если бы последнее имело место, то можно было бы найти систему координат, в которой вектор G не равнялся бы нулю, а энергия E равнялась. Это, однако, невозможно, так как E может исчезнуть лишь тогда, когда поле вообще отсутствует. Поэтому имеем
IJi ^ О, G < Е/с. (229)
Вектор J может, таким образом, быть или нулевым или времениподобным вектором. Примером первой ВОЗМОЖНОСТИ является ограниченный в пространстве цуг плоских волн. Для подобного цуга, как известно, G — Е/с. Поскольку это соотношение может быть записано в форме JiJi = O, оно должно иметь место в любой системе отсчета. Если а есть измеренный в К угол между направлением луча и скоростью системы К' относительно К, то из (228) следует формула преобразований Эйнштейна для энергии конечной плоской волны ([15], § 8)
E' = Е. (228а)
Kl-P2
Если вектор J времениподобен, то всегда имеется система Ко, в которой полный импульс равен нулю. Из (228) следует, что если Eo есть значение энергии в этой системе Ко, то в системе К, движущейся относительно Ко CO скоростью V,
E = ,Е° G = = — Е. (228Ь)
¦/і — P3 Vi-P2 с
Примером в этом случае является сферическая волна конечной ширины или система двух совершенно одинаковых, но направленных в противоположные стороны плоских волновых цугов (об обобщениях этих соотношений на неэлектромагнитный импульс (или энергию) см. § 42).
§ 31. ИНВАРИАНТНЫЙ ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ 125
§ 31. Инвариантный принцип действия
в электродинамике
После того как Пуанкаре ([14], R. Р.) убедился в инвариантности интеграла действия Шварцшильда [152] (см. также [132], § 9) относительно группы Лоренца (см. примеч. 10), Борн [153] применил четырехмерную векторную форму записи принципа действия, в результате чего последний приобрел очень наглядный вид.
Шварцшильд сначала образует интегрированием по пространству функцию Лагранжа
4- j (H2 - E2) dV + j р {ф - 4- (Au)] dV,
после чего получает функцию действия интегрированием по времени. Естественно объединить интегрирование по пространству и по времени введением четырехкратного интеграла ([14], R. Р.). Обозначая через L инвариант
L = lIiFikFik - H2 - E2, (230)
можно записать удвоенную функцию действия в виде
W = §(L-2q>isi)d2, (231)
Рассматриваемый принцип действия состоит в том, что при известных условиях вариация от W равна нулю:
6 W = 0. (232)
Эти условия таковы:
І. Интеграл W берется по определенной области четырехмерного мира; независимыми переменными являются компоненты ф( четырехмерного потенциала, имеющие заданные значения на границах области интегрирования; четырехмерный ток Si, т. е. мировые линии электрических зарядов и их величина, не варьируются. Согласно § 23 (см. (174) и (175)) при этом
W = 2 J - Si j бфі dZ, (233)
