Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Паули В. -> "Теория относительности " -> 29

Теория относительности - Паули В.

Паули В. Теория относительности — М.: Наука, 1991. — 328 c.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 110 >> Следующая


где

(156)

*) Ото впервые показал Клейн в [105], где обстоятельно разобраны свободные векторы. Изложенное здесь доказательство взято у Вейля [106].
92

ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

§ 22. Геометрия реального мира

До сих пор мы молчаливо предполагали, что форма ds2 — определенная форма. В действительном пространст-венно-временпом мире это не имеот места, так как ds2 в нормальной форме имеет три члена положительных и один отрицательный. Формально все до сих пор выведенные результаты можно перенести и на этот случай, так как введение мнимой координаты позволяет свести один случай к другому (см. § 7). Геометрически, однако, формулы будут истолковываться несколько иначе.

Если оставаться сначала в области применимости специальной теории относительности и ввести в качестве четвертой координаты х4 — ct, то при заданном начале координат можно разделить мир инвариантным, относительно лоренцевых преобразований, способом на две части, характеризующиеся условиями

+ + — х\ <; 0 (будущее и прошлое), (А)

х\х\xl — (промежуточная область). (В)

Они разделяются поверхностью конуса

х\ "Ь х\ 4~ — х\ — О, (С)

по которой проходят мировые линии световых лучей.

Если начало некоторого вектора совпадает с началом координат О, то он называется пространственным вектором, если конец его лежит в области (В), временным вектором, если он лежит в области (А), и нулевым вектором, если он лежит на конусе (С). Преобразование Лоренца благодаря измененному знаку четвертой переменной представляет собой не вращение координатной системы, а переход от одной системы сопряженных диаметров гиперболоида

х\ + х\ + х\-х\ = 1

к другой. (Эта интерпретация преобразования Лоренца, а также понятия, применяемые в дальнейшем, встречаются впервые у Минковского.) Простым геометрическим рассуждением или простым применением формулы (I) можно показать, что при помощи подходящего выбора координат можно добиться для точки области (А) пространственного, а для точки области (В) временного совпадения (одновременности) с началом координат,
S 22. ГЕОМЕТРИЯ РЕАЛЬНОГО МИРА

63

г. е. что всегда можно при помощи соответствующего выбора координат сделать временную компоненту пространственного вектора и все пространственные компоненты временного вектора равными нулю. Кроме того, на основании результатов § 6, только точки области (А) могут быть нричнпно-связанными с началом координат. Рассмотренная геометрия, определяемая линейным элементом

ножет быть названа по Клейну и Гильберту псевдо-$еклидовой.

Вполне аналогичные различия между геометриями положительно определенной и неопределенной форм линейного элемента имеют место в общей геометрии Рима-на. Построим все выходящие из точки Po геодезические линии, которые удовлетворяют в Po условиям

(і—параметр кривой). Эти линии непрерывно заполняют области пространства-времени или (C') поверхность светового конуса. Соответствующие направления (векторы) в точке Po называются, как а выше, временными, пространственными и нулевыми направлениями (нулевые векторы).

Это разделение пространственно-временного мира имеет своим следствием, как это подчеркнул Гильберт [108], ограничение допустимых преобразований координат. Именно, в допустимых координатных системах три первые координатные оси должны быгь всегда пространственно-, а четвертая — всегда временшгодобной. Это выполняется, если, во-первых, квадратичная форма, получающаяся из ds2 при dx4 = 0, является положительно определенной формой, для чего требуется соблюдение

ds2 = (dx')2 + (dx2)2+ (dx3)2- (dx<)2,

(A')

вли

(ВО

или

dx* dxk _ %ik ~di ~dl ~

(CO
94

ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

условии Sll > О,

>0,

*11 *12 *18

*81 *32

5 33

О,

и если, во-вторых, g44 < 0.

Эти неравенства не могут быть нарушены допустимым преобразованием координат. Так как детерминант g, составленный из gih, вследствие этих неравенств всегда отрицателен, нужно в тензорных формулах, выведенных для случая определенной формы, всюду заменить I/g на

У-g*).

По (А)’ длина дуги мировой линии может быть и мнимой; это всегда будет, например, в случае мировой линии материального тела. Удобно поэтому вместо длины дуги s в этом случае ввести собственное время т, определенное равенством

s = icx. (157)

Оно определяет время, указываемое часами, которые движутся по этой мировой линии. Поэтому для координатной системы, в которой в данный момент времени часы покоятся, dx = dt. Введем также вместо

dx* ds

вектор

(158)

*) Минковский [64] и Клейн [66] налагают на допустимые точечные преобразования еще одно ограничивающее условие: дх'4/дх4 > 0; тогда замена прошедшего будущим исключается, и мы имеем дело с действительно непрерывной группой. Однако из ковариантности относительно этой узкой группы следует уже чисто формально ковариантность относительно перемены направления времени, если только уравнения не содержат очень искусственных иррациональностей (относительно этого последнего пункта см. гл. V). Кроме того, ковариантность всех законов природы относительно изменения зпака времени по современным представлениям физически обоснована. Поэтому мы не используем здесь упомянутого ограничения,
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed