Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
1. Операция rot повышает ранг тензора (см. § 11), а операция ЬІГО понижает его.
2. При операции rot дифференцируются ковариантные компоненты тензора, а при операции Uw — коптравариант-ные компоненты тензорной плотности.
3. Операции rot и biro являются дуальными. Это следует из соотношений (137). Действительно, например, легко проверить, что
TOtiwF = UiemF*. (142)
Как в обычном векторном исчислении, операции grad, rot, bill) можно комбинировать. Имеют место соотношения
rot grad ф = biro biroF = rot rot f = 0, (143)
Применяя последовательно к скаляру гр операции div и grad, получают обобщение лапласовского оператора 4. По предложению Кош її его обозначают символом п. Уже Бельтрамн (ЮЗ) ввел его в теорию инвариантов «-мерных многообразий; его первое применение в специальной теории относительности встречается у Пуанкаре. Для получения его, согласно (141а), нужно найти контравари-
§ 20. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 85
антные компоненты векторной плотности градиента:
D9_dlvgr«d9 = :i?(/ie»|S]. (144)
Отсюда следует, что при постоянных gtk
? ф = gihd‘2^>/dxidxh. (144а)
Б этом специальном случае можно при помощи оператора ? образовать из вектора Д новый вектор. Как и в обычном векторном исчислении, имеет место соотношение:
div( rot f = gradf div f — Ofil (145)
Это соотношение, однако, не имеет обобщения для случая, когда gth не являются постоянными.
Нужно отметить, что введенная в § 11 на геометрической основе систематика тензоров может быть подкреплена и вычислительными соображениями. Именно, тензоры первого ранга аналитически отличаются от тензоров высших рангов тем, что из них без помощи коэффициентов связности можно образовать дифференцированием новые тензоры.
§ 20. Введение инвариантных дифференциальных операций с использованием коэффициентов связности
Перейдем теперь ко второй группе дифференциальных операций, для которых понятие параллельного иере-носа играет существе и ну ю роль. Для физических приложений только две такие операции имеют значение, именно те, которые соответствуют операциям
аш = BaiZdxh
и
ti — dt\]dxh (div тензора второго ранга)
аффинной группы. Чтобы получить их выражения в общей группе преобразований, сделаем следующее построение. Пусть в каждой точке кривой Xh = Xt(I) задай вектор с компонентами а*. Выберем произвольным образом некоторую точку кривой P и построим путем параллельного переноса вектора Ot(P) вдоль кривой вторую совокупность векторов аг(Р'), где P' — любая точка кривой.
86 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
В точке P а' и а1 совпадают:
Oi(P)^at(P).
Тогда при помощи соотношения
Iim
р'-»р Дг
можно инвариантным образом определить новый вектор, так как в числителе стоит разность двух векторов в одной точке. Из (64) и (70) следует, что
А'=Ж+Г'“’Ж’ <ufk>
<шы
Если мы подставим вместо t длину дуги s и вместо а1 касательный вектор Ui — dx‘/dst то получим вектор «ускорения», компоненты которого B1 совпадают с левой частью (80):
d , -pi dx dx і j
<14'>
Если вектор а* задан не только вдоль кривой, но и в не-
cid^
которой области, то —jj = ~k~[i > 11 ПРИ помощи (146) каждому направлению dxk/dt можно сопоставить вектор . dxh A і dJ1
Ai — aihIu' — akTt’
Отсюда следует, что
8xh
аі ~~ Th. "b ^rha'* (148а)
= V, (148b)
OXn
являются компонентами некоторого тензора. Этот тензор и есть искомое обобщение тензора dajdx* аффинной группы.
Векторное поле а\ для которого тензор aih исчезает в некоторой точке Р, называется стационарным в этой точке. По § 16 и 18 в евклидовом пространстве и только
I'20. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 37
в нем существуют векторные поля, стационарные во всех точках некоторой конечной области.
Так как система величин а,-» ве симметрична и не антисимметрична, то мы имеем дело 0 тензором в смысле § 9, а ее в смысле §11. Мы можем разбить aih на антисимметричную часть
J_ Zfii _ д^\
2 SxiJ
и симметричную часть
а / да, даъ \
а& = т \j& + ?? ) ~ ГіьЯг* (148с)
С помощью стационарных векторных полей можно, используя процедуру Вейля і 104], образовать дивергенцию тензора второго ранга Tth. Пусть Iі — векторное поле, стационарное в Р, так что в этой точке
Otfdxk = - TirhIr
а
Olijdxk = TrikIrt Образуем тогда согласно (141а) дивергенцию вектора
f = TihIh = T\f,
Введя в нее значение производных получим
Mm I = -J = ЬіШії‘61 = Hm1S-Iif ?149)
где
fcfm tSm 3"5ГГ !Й -L^rsyrs
= ^2 , (IoOa)
ЬЫЪ = ^ + SrTL, (150Ь)
dxR
$ — тензорная плотность, соответствующая Т, и из инвариантности (149) следует, что (150а) и (150Ь) суть ко- а контравариантные компоненты некоторой векторной плотности.
В евклидовом пространстве можно дивергенцию тензора второго ранга интерпретировать иначе. Если г* и
88
ГЛ, II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
s' — два едипичных вектора, то можно назвать величину T(г,) = TihTiSk компонентой тензора по этим двум направлениям. Пусть г1 задано в точке P произвольным образом; тогда в любой точке P' рассматриваемого евклидова пространства можно однозначным инвариантным образом указать параллельное г’ направление. Р. Векторное поле Р, очевидно, всюду стационарно и может быть подставлено в (149) вместо
