Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
g 22. ГЕОМЕТРИЯ РЕАЛЬНОГО МИРА
95
для которого имеет место соотношение
gfftitV — UiUi => —с1.
(1591
Среди геодезических линий нулевые геодезические линии, лежащие на конусе (С), играют исключительную роль. Хотя для них верен вариационный принцип (83) и дифференциальные уравнения (80), но вариационный принцип (81) не имеет места. В самом деле, во-первых, координаты не могут быть выражены здесь в виде функций длины дуги вследствие равенства ее нулю, а следовательно, и в (80) также должна фигурировать не длина дуги, а какой-нибудь другой параметр кривой, определенный с точностью до постоянного множителя. Во-вторых,
торое появляется в знаменателе при выводе (83) из (81), этот вывод не может быть уже приведен. Следует нулевые геодезические линии определить так: нулевые геодезические линии отличаются от других линий, лежащих на конусе (С), тем, что для них существует параметр X, для которого удовлетворяются уравнения
Cl2Xi -р{ dxr dx? _ „
~^} + lrs~dX dx
а следовательно, и вариационный принцип (83). Для ненулевых геодезических линий остаются верными все формулы § 15.
Результаты Фермейля, касающиеся зависимости объема шара в римановом пространстве от инварианта кривизны (§ 17), нельзя непосредственно применить в случае неопределенного линейного элемента, так как шару здесь соответствует бесконечно протяженный гиперболоид.
В заключение можно упомянуть, что обычно в специальной теории относительности нормальная форма линейного элемента определяется как форма с тремя положительными и одним отрицательным знаком, в то время как в общей теории относительности она определяется как форма с тремя отрицательными знаками и одним положительным. Мы будем всегда использовать только первый способ обозначений,
вследствие равенства нулю выражения
96
ГЛ. И. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 23. Бесконечно малые преобразования координат и вариационные принципы
Если некоторая величина инвариантна относительно преобразования координат вообще, то она, конечно, инвариантна и относительно бесконечно малых преобразований координат. Польза рассмотрения последних основана на том, что из инвариантности величины относительно бесконечно малых преобразований можпо вывести дифференциальные уравнения, которым эта величин; должна удовлетворять. Мы определим такое преобраз( вание координат формулой
где є — бесконечно малая величина, а могут произвольным образом зависеть от координат. Все разности между функциями с чертой и без черты разложим в ряд по степеням є. При этом мы будем иметь дело только с членами первого порядка, которые называются вариациями соответствующих функций. Чтобы получить вариации каких-нибудь тензоров при переходе от координатной системы без черты к системе с чертой, нужно в общие формулы преобразования (25) вставить величины
и верны, конечно, только с точностью до величин первого порядка относительно г. Отметим еще, что детерминант преобразований равен
det Oxi = 1+е^(; det Sxk л Sli = і — г
дхк дх1 Sxi дх1
Таким образом, мы получим для вариации вектора выражения
Xі = Xі — г%!{х)
(160
Последние выражения следуют из равенства
Qxi dxh
дхг дх
(163)
а для вариации тензора второго ранга — выражения
§ 23. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 97
6«* = e(?„;_ga;); (,б4)
6"“ =+ Sa'
Соответствующие формулы справедливы, в частности, и для вариации gik. Отметим еще, что для любой системы симметричных величин Uц из (72) следует соотношение
UhSgn = -FSgik (165)
ричем, как обычно, t'h = g'aghe,taр). Из (73) следует кже, что
S V — g = 4- Y — g gihSgih =-4- У — § Sihhih'
(73Ь)
В (163) и (164) речь идет о вариациях
б а* = а!(х) — а'(х), ..., 8aih = Ois(J)- a<s(;r), ..(166) существенно отлична от них вариация
8*а{ = а}(х)— a'ix),..., 6*aift = а}ь(х) — aih(x), ... (167) Она связана с предыдущей символическим соотношением б* = 8 - в1гд/дхт, (168)
откуда непосредственно получаются выражения для б*а\ 6*сц и т. д. Из (164) и (167) имеем важную формулу
2 , - „ ьга---------,, „ ь 9 , , - e dx,
или на основании (150а)
4 J ^Sih dx = є j MmiSEi dx - J ± (3?*) dx
(169)
Рассмотрим теперь вариацию интеграла J = J (х) dxt
7 ?. Паулц
98
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Имеем
б/ = [ 5Ш (х) dx—\m (х)
dx =
х
х
2Я (х) dx — Г 2Я (х) dx.
дх*
х
X
и так как
ЗД = ЭД + е^,
то на основании (162)
ь jmdx = ^smdx+ e§d-^p-dx,
(170)
причем 6*2Й = 271 (ж) — 2її(х). Если Iі исчезают на границе области интегрирования, то второй член в правой части (170) исчезает, так как он на основании (139а) может быть преобразован в поверхностный интеграл. Если J — инвариант, т. е. Ш — скалярная плотность, то вариация (170) исчезает для любого Установив сначала общее выражение для 6271 при произвольной вариации тензоров поля, из которых образована 271, и образуя затем по (164) вариацию последней специально для бесконечно малого изменения системы координат, получают из (170) некоторые тождества. Можно в некоторых случаях принять, что Iі исчезает на границах области интегрирования, и это упрощает вычисления. Разъясним это на следующих примерах, которые понадобятся для последующих физических приложений.
