Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
102 Глава IV. Принципы общей теории относительности
однако, метрические коэффициенты уже не являются постоянными, равенство нулю векторной дивергенции выражается теперь с помощью формулы (2.407) посредством соотношения
—й#—+(х,)7, =0’ 0*= 3-4>- (4105>
Последние четыре уравнения можно рассматривать как обобщение уравнений Ньютона (3.202) и (3.203) на случай общей теории относительности.
Риманово пространство-время, используемое для распределения вещества, должно быть теперь связано с физическими характеристиками этого распределения. Мы будем рассматривать тензор энергии распределения вещества как краткую сводку этих физических характеристик. Мы уже отметили, что векторная дивергенция этого тензора равна нулю. Так как наиболее существенные черты риманова пространства-времени определяются его метрическим тензором, возможная взаимосвязь между распределением вещества и свойствами пространства может быть получена приравниванием тензора энергии некоторому тензору, который зависит от метрического и также имеет равную нулю векторную дивергенцию. Этим свойством обладает тензор Эйнштейна, и мы постулируем, что риманово пространство-время, которое представляет распределение вещества с тензором энергии T^, обладает метрическим тензором, удовлетворяющим десяти уравнениям
— = /Г — I g^ (Ri — 2Л) , (4.106)
где %с2—некоторый коэффициент пропорциональности, подлежащий определению в дальнейшем!). Эти уравнения из-
') Космологическая постоянная Л была введена Эйнштейном для получения статического решения в изотропной модели мира. Открытие ,красного смещения" в спектрах галактик, свидетельствующее о расширении известной нам области вселенной, позволяет положить Л = 0. Значение А ф 0 исключает метрику Минковского (галилееву метрику) из числа решений уравнений^ тяготения для пустого пространства (Грт = 0), что является физически неудовлетворительным. — Прим. ред.
§ 4.2. Физический смысл постоянной *
103
вестны под названием уравнений Эйнштейна; опуская индексы, мы можем записать эти уравнения в эквивалентных видах
— хс27> == ^ _ I Sjf (Rl — 2Л) , (4.107)
- '/.с2 T^v = g^ (Rl - 2Л), (4.108)
В силу (2.703), имеем
у—s Ox^ +|і4,сГ=('/ЛЬ=
= — { Rv"1----j (Rl — 2Л) =
= — — 2Л)] J=O, (4.109)
откуда видно, что уравнения (4.106) — (4.108) автоматически удовлетворяют четырем уравнениям (4.105).
В некоторой точке-событии, или в совокупности точек-
событий, где тензор энергии равен нулю, уравнения Эйн-
штейна принимают более простой вид
RH — у — 2Л) = 0.
Свертывая, получаем /?а = 4Л, и уравнения Эйнштейна могут быть написаны в одной из следующих форм:
BT = Agva, R^ = AK, R^ = Agv,,. (4.110)
Наконец, если космологическая постоянная равна нулю, то (4.110) принимает вид
R^ = 0, R* = 0, Rvn = 0. (4.111)
§ 4.2. Физический смысл ПОСТОЯННОЙ JC
В § 3.8 мы показали, что историю распределения вещества можно представить в пространстве-времени Минковского, задав 4-вектор скорости, плотность и давление и потребовав затем, чтобы тензор энергии распределения вещества удовлетворял уравнениям (3.805). Уравнения Эйнштейна, однако, содержат в себе нечто большее, поскольку они связывают тензор энергии с метрическим тензором пространства-вре-
104 Глава IV. Принципы общей теории относительности
мени. Поэтому можно поставить вопрос, что произойдет, если эти уравнения применить к пространству-времени Минковского? Так как пространство-время Минковского плоское, тензоры R^ = Rria-Q и уравнения (4.106) принимают вид
— хс2Т*' = А ^v. (4.201)
Метрический тензор дается формулой (3.701), а тензор энергии — (4.104). Вспоминая, что Imn используются -для циклической подстановки индексов, и пренебрегая условием суммирования, получаем следующие выражения для десяти уравнений (4.201):
_*С2Г44 =_хС2|^р + ^(й4)2_Х| = А, (4.202)
-XC2Tli = — «2{(р-Ь-?)мгм4} = 0, (4.203)
— -/.C2Tu =— Y.c2 j + (и1)2 -)- jpj = — с2А, (4.204)
— HC2Tlm — — у.с2 j ^P + -jjj и1um 1 = 0, (4.205)
к которым следует добавить уравнение (4.103), а именно
3
(“4)2—S ^)2 =h ^4-206)
і = I
Уравнения (4,203), (4.205) и (4.206) показывают, что
и1 — 0, M4=I,
так что распределение вещества находится в покое относительно данной инерциальной системы. Уравнения (4.202) и (4.204), чем бы не являлась постоянная х, дают
P -j г 2
А _ А
ЪС2 ’ P Ti
Таким образом, плотность и давление постоянны и обязательно имеют противоположные знаки, за исключением случая A = 0, когда они равны нулю. Таким образом эти результаты являются либо физически неприемлемыми, либо тривиальными. Отсюда вытекает, что уравнения Эйнштейна, примененные к пространству-времени Минковского, не дают
§ 4.2. Физический смысл постоянной ч-
105
осмысленных результатов, и что физическая интерпретация постоянной X таким путем не может быть получена.
Иная ситуация возникает, когда уравнения Эйнштейна применяются к риманову пространству-времени, метрический тензор которого мало отличается от метрического тензора пространства-времени Минковского. Рассмотрение космологической постоянной мы отложим до гл. VI и будем пока считать, что космологическая постоянная пренебрежимо мала. Примем также, что метрика совпадает с метрикой ортогонального, статического и изотропного пространства-времени
