Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Зоммерфельд вывел как выражение (238а), так и выражения (244) и (245) путем комплексного интегрирования с помощью упоминавшегося выше метода. Формула (245) совпадает с полученным Шварцщильдом [157] выражением для «элементарной электродинамической силы» (см. также [132], § 25).
р. Ноле равномерно движущегося точечного заряда. Поскольку электронная теория находится в согласии с теорией относительности, последняя при определении поля заданным образом движущегося электрона не может приводить к результатам, отличным от известных ранее в дорелятивистской теории Лоренца. Правила преобразования напряженностей поля избавляют, однако, от необходимости прибегать к дифференциальным уравнениям или к общим формулам (244), если только поле известно для одной определенной системы координат. Если, например, нужно найти поле заряда, равномерно движущегося в системе К, то сперва можно найти его поле в системе К', относительно которой заряд покойся:
9 в. Паули
(244)
130
ГЛ. III, СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
из (204) немедленно получаем
Если обозпачить г = {г, у, г) вектор, конец которого находится в точке наблюдения, а начало — в точке, где находится в тот. же момент времени относительно систе~ мы К заряд, то *)
Напряженность электрического поля и здесь направлена по радиусу, а напряженность магнитного поля перпендикулярна к радиус-вектору и направлению движения. Поверхностью равных (по абсолютной величине) напряженностей электрического поля в движущейся системе является не сфера, а эллипсоид Хевисайда, введенный Хевисайдом (см. [132], § 11, Ь) в электродинамику еще в 1889 г. Этот эллипсоид — просто та поверхность, в которую сфера переводится преобразованием Лорепца.
Поле (246) может быть также получено и из общей формулы (244). Для этого введем вектор X', перпендикулярный к прямо л иней ц ой в нашем случае мировой линии заряда, начинающийся на этой мировой линии и кончающийся в мировой точке наблюдения. В покоящейся системе IC его компоненты равны (г', 0). Далее легко получаем
(246)
Vi-р2*
Поэтому
^nFih v, UkXi).
Cl X 1
(246а)
*) Этот вывод впервые дан Пуанкаре ([14], § 5),
§ 32, ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 131
Y- Поле заряда, совершающего гиперболическое движение. Простейшим движением после равномерного является «равномерно»-ускоренное, т. е. в теории относительности — гиперболическое движение (см. § 26). Поле заряда, совершающего гиперболическое движение, впервые было определено Борном [126]. Зоммер-фельд [127] применил для его вычисления комплексное интегрирование. Элементарное изложение имеется также у Лауэ [158]*).
Поместим начало координат в центр гиперболы и при этом совместим плоскость гиперболы C ПЛОСКОСТЬЮ X1X4. Точка
= a Cos-^-; ?4 = a sin|2 = ?3 = О
мировой линии (196а) заряда, относящегося согласпо (241) к точке наблюдения ж1, ..Xі, определяется соотношениями
COS (Tl? — ф) = Ф = -J-. (247)
Здесь положено
R = I/XiXi; ж1 = р cos ф; ж4 = рзшф. (248)
Компоненты четырехмерного потенциала равны
е simt п
4npsin(4— ф)’ cPa — Фз »
е cos гр /о/п\
4)4 — Ш SiD (ф — ф) *
В системе, в которой заряд в момент t — rjc покоится, фі исчезает в момент t. В системе, в которой мировая точка наблюдения одновременна с центром гиперболы, напряженности поля равны (вместо х2 ппшем у):
E
_____ ie fa cos (т|: — ф) — р]
* 4пр Sin2(Ij) — ф) 4nap2 sins (ф— ф)
е a2 [/J2 + а2 — 2р2]
я [(Л* -J- аа)а — 4варя]®^»*
¦*) По этому поводу см. также [II.4*] и указанную там лита* ратуру.— Примеч, ред.
8*
132 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ev------------If------aA=--------------------- (250)
4лр sin' (ij) — ф) °У 4лор sin (iji — <р)
2е а2р
= IT ?(Л2 + aij2 _ 4ау ]з/2’’
H = O.
Гиперболическое движение выделяется, таким образом, также тем, что оно не связано с образованием волновой зоны и соответствующего излучения. Напротив, если два прямолинейных равномерных движения переводятся одно в другое с помощью гиперболического движения, то излучение имеет место.
Возможно ввести для вычисления поля в случае гиперболического движения заряда систему отсчета, движущуюся с зарядом и, таким образом, не галилееву. В качестве координаты х в этой системе можно ввести величину, обозначенную выше р, а в качестве времени — угол Ф, совпадающий с точностью до некоторого множителя с собственным временем движущегося заряда. Линейный элемент в этой системе равен
d*2-(dl'l2 + (d6*) ® + №sis + (|. Is(JS4)1*
(251)
(Stu=P, S(2,=Z(2\ |<4> = ф).
Уравнения поля в таких координатах легко могут быть написаны при помощи методов, изложенных в гл. II. Проблема при этом оказывается статической, однако, не одномерной, н расчеты существенно не упрощаются. С исторической точки зрения интересно, что еще Борн [126] рассматривал задачу с точки зрения сопутствующей системы отсчета. Вводившийся им временной параметр отличен от примененного выше; дифференциальные уравнения он получал с помощью ранее сформулированного им fee инвариантного вариационного принципа (см, § 31).