Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
б. Инвариантность фазы света. Отражение от движущегося зеркала. Давление света. В §6 из требования инвариантности фазы световой волны были получены релятивистские формулы для эффекта Доплера и аберрации. Обоснование упомянутого требования непосредственно следует из формул преобразования для напряженностей поля. Поскольку фаза плоской волны является линейной функцией пространственно-временных координат, ее можно записать в виде
§ 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ
133
скалярного произведения:
-Vf+ (kr) -ZiX*, (252)
где U— четырехмерный волновой вектор и к — трехмерный волновой вектор, направление которого совпадает с нормалью к волне, а величина равна 1/А,. Если, в частности, нормаль к волне параллельна плоскости ху, то
Zi = ^-J-Cos a,sin а, 0,j. (252a)
В вакууме k есть нулевой вектор. Формулы преобразования (15) и (16) § 6 получаются непосредственно. На основании соотношений (204) они могут быть дополнены формулой преобразования для амплитуды А [15]
А' = A P cosry- (253)
Kl-P2
Учитывая также преобразование объема V, ограничивающего с боков конечный цуг волн:
V'=V T^1ft- » (254)
I — P cos а ' '
находим для полной энергии E — 1^A2V снова формулу (299а) [15]. Из сравнения с (15) мы видим, что энергия и амплитуда преобразуются точно так же, как частота, а объем преобразуется обратным образом:
Et E A1 А ті/ t V / \
>v V -Vv. (2о4а)
Первое из этих соотношений Эйнштейн [15] отмеча-
ет особо; с ним связан закон смещения Вина.
В тесной связи с формулами преобразования для частоты и направления плоской волны при переходе к движущейся системе отсчета находятся законы отражения света от движущегося зеркала, которое считается идеально проводящим и плоским. Эти законы могут быть, очевидно, сведены к законам для неподвижного зеркала путем введения системы К', движущейся с зеркалом [15]. И в этом случае теория относительности может внести новое только в отношении самого вывода, но не его ре-вультатов*). Формулы старой теории здесь даже строго
*) Подробное обсуждение) законов отражения от движущего-?Я зеркала, появившееся до установления теории относительности, CM. в работах [159].
134
ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
справедливы, так как все входящие в них величины измеряются масштабами и часами одной и той же системы отсчета и, следовательно, лоренцево сокращение и замедление хода часов не могут повлиять на результаты расчета.
Обозначим ai и а.г измеренные в системе К углы между нормалями к падающей и отраженной волнам и ско-/ (
ростью зеркала, Ct1 и а2 — соответствующие углы в системе К', Vi и Vs — частоты падающей и отраженной волн в К и V1 = V2 = v' — соответствующие1 частоты в К'. Если
I
зеркало движется параллельно его плоскости, то сц = = 2я — OC11H из (15) и (16) следует, что и аг = 2л — ai и V2 = Vi. Таким образом, в этом случае закон отражения не отличается от закона отражения для неподвижного зеркала. Отсюда ясно, что интерес представляет- лишь компонента скорости зеркала в направлении нормали к нему. Поэтому далее мы можем принять, что зеркало движется нормально к его собственной плоскости; скорость зеркала v будем считать положительной в направ-
/ /
лении внутренней нормали, ai и аг, так же KaKa1 и аа, суть теперь углы падения и отражения и, очевидно,
Ct2 = Л — OC1.
Из (15) и (16) следует, что
V2(I — P cos ссг) = Vi (I — P cos ai); V2 sin аг =*vi sin ai;
(255)
(256)
(257)
Далее,
COS CCj — P COS Cta —¦ P
I — p cos ax I — 'p oos a2 ’
откуда получаем
(I 4- рг) cos Oi1 ~ 2ft I — 2p cos Ce1 -j- p2
(257a)
и
(258)
S 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ
135
Очень изящный способ вывода этих формул предложил Бэйтмен [160], Чтобы получить в К' фазу отраженной волны из фазы падающей, нужно просто заменить х' на —х'. Это есть вместе с тем зеркальное отражение. Чтобы получить искомое преобразование в К, нужно сперва перейти к системе К' путем мнимого поворота на угол +ф {см. (187)), затем поменять знак у х, после чего с помощью поворота на —ф вернуться в систему К. Эти операции эквивалентны одному вращению на угол 2ф и последующему отражению оси х.
Если положить
tg 2ф — іС7/с, то, согласно (187),
2А
TT &
U ^t-JI
С + ІГ
4 _1_ R® I __ еЗ
COS2ф sin2ф =
(259)
и переход от «предмета» к «изображению» в движущемся зеркале осуществляется преобразованием
х-Vt с2+ V2 , 2с v ,
X=--------/ -......- =-----S-1----2 X -f- 1---5 Ц
YI _ U2Ic2 -
I — (U/c2) х с2+ V2 2v
~ O2-U2t C2-V2xt
(260)
Одна точка движущегося зеркала, для которой x*=vt, преобразуется сама в себя (х =х, ї = і); если предмет движется с той же скоростью, что и зеркало (x = vt + a), то то же самое имеет место в отношении изображения (x=-vt+ а), как это и должно быть. Изображение точки, покоящейся в К, движется со скоростью U, которую можно также получить с помощью теоремы сложения скоростей для случая сложения усу. Фаза волны, отраженной от движущегося зеркала, получается непосредственно из фазы падающей волны заменой (260), а соотношения (257), (257а) и (258) могут быть записаны в виде, совершенно аналогичном формулам (16а), (16) и (15), если еще заменить а2 на я — а2, вследствие отражения оси х\
