Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
________xJ_______fi_
КГ VWi) ~ У"*й
(по і здесь суммировать не нужно). Надо еще заметить, что в декартовой системе координат, для которой glh = 8*, разница между контра- и ковариантными компонентами исчезает, а базисные векторы е( совпадают со взаимной им четверкой векторов,
4*
52
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Таким образом, являются компонентами новых базис-
ных векторов в старой системе, а\ — компонентами старых базисных векторов в новой системе. В заключение отметим, что на основании (37) и (42) для фундаментального тензора gik легко установить формулы преобразования (25).
§ И. Бивекторы и тривекторы*).
Четырехмерные объемы
Поверхность — это следующий по числу измерений после линии геометрический объект. И аналогично тому, как связаны векторы и линии, имеются связанные с поверхностью тензоры второго ранга, которые называют бивекторами. К этому понятию мы можем прийти следующим путем. Два вектора х и у определяют двумерный параллелепипед. Параллельные осям его проекции на шесть двумерных координатных плоскостей задаются выражениями
если за единицу площадей брать площади параллелепипедов, образованных соответствующими базисными векторами е,-. Они образуют контравариантные компоненты тензора второго ранга, антисимметричного в силу соотношений
Если в указанных операциях заменить базисные векторы взаимными Є;, то можно получить ковариантные компоненты
Будем называть бивектором любой антисимметричный тензор второго ранга, т. е. тензор второго ранга, компоненты которого удовлетворяют соотношениям (45). Хотя не каждый такой тензор может быть представлен в форме (44) — для этого ^li должны удовлетворять соотношению
Iik = хУ-х*у\
(44)
(45)
life XilJk Xkl/i.
(44а)
I12I34 + 113?42 + I14I23 = О,
(46)
*) Мы употребляем принятые в математической литературе термины «бивектор» и «тривектор» вместо используемых автором выражений «поверхностный» и «объемный» тензоры,— Примеч. ред.
§ И. БИВЕКТОРЫ И ТГИ ВЕК ТОРЫ
53
но всегда возможно представить его в виде суммы двух бивекторов вида (44). Если ?,¦„ и гр* — два бивектора специального типа (44), то инвариант
J-'IaUVh (47)
представляет собой квадрат площади параллелограмма, а инвариант
/=VsW* (48)
представляет собой произведение плошади грй и ортогональной проекции параллелепипеда на двумерное направление Аналогичные инварианты для произвольных бивекторов суть суммы подобных произведений*). О значении в теории инвариантов левой части (46), если —произвольный бивектор, CM. § 12.
Тривектор может быть представлен трехмерным параллелепипедом, построенным на трех векторах х, у, z.
*) Мы можем в связи с этим указать на плюккеровы координаты прямой. Если Xi, ..., X4 и уі, ..., у, — однородные координаты
хі
двух точек на прямой в трехмерпом пространстве (так что —,
xI
х2 xS V1 У2 У3
и — ,— ,—^—обычные координаты), то прямая определя-
4 Х4 4 Уі 4
ЄТСЯ шестью величинами Pik = ХіУь— Xhy{, отношения которых не зависят от того или ипого выбора двух точек на прямой. Эти величины Pih удовлетворяют соотношению (46). Таким образом, имеет место полная формальпая аналогия с бивекюром в четырехмерном пространстве.
Если, далее, — бивектор типа (44а), то уравпение = = %ikXh ставит в соответствие каждому вектору Xі бесконечно малое смещение. Так как dx* лежит в плоскости бивектора Iі* и перпендикулярен к я*, эта операция соответствует бесконечно малому вращению Rb величина и направленно которого задается lis, Если I,-к — бивектор общего вида, то рассматриваемое смещение образуется сложением двух вращений, ортогональных друг к другу, и может быть обозначено как винтовое движение. Уже Минкозский (III [64)) отмечает аналогию бивектора с силовым винтом (Kraftschraube).
Соответствующая аналогия в трехмерном пространстве находит далеко идущее применение к механике в теории винтов Болла [73].
Нужно еще отметить, что самостоятельное эначепие бивекторов в геометрии многомерных пространств было осознано Гроссманом [67] и обстоятельно им исследовано,
54
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Его компонентами являются детерминанты:
Iі Tji tIi и
?k Tjft > ^ihl ' tIft к
I1 ц1 Ez rIl C1
Тензор (49), очевидно, антисимметричен, так как при перестановке любых двух индексов меняется знак компоненты. Число независимых компонент есть 4. В отличие от бивектора тензор (49) является наиболее общим тривектором, т. е. любой тензор третьего ранга, компоненты которого удовлетворяют указанным выше условиям, может быть представлен в форме (49).
Четыре вектора хП), х(2), х(3), х<4) определяют некоторый четырехмерный параллелепипед. В декартовой системе координат его объем равен детерминанту, составленному из 4X4 компонент векторов х. На основании
(34) и (36) этот объем выражается через компоненты в косоугольной системе следующим образом:
S = det [Xwh I * det І Єі I = det I a?l) j - det [ е* |. (50)
Выражение (50) находится применением правила умножения детерминантов; det IeiI и det | е* | означают при этом детерминанты, составленные из 4 X 4 компонент векторов е( (соответственно в{) в декартовой системе координат. Их можно определить, возведя в квадрат и снова применив правило умножения детерминантов, учитывая при этом (37), (41) и (26а):
