Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
1^1-62
V1 = V -г-—,г—и, в частности, когда источник движется пер-
1 — р cos 0
пендикулярно K наблюдателю В системе К', ТО COS 9=0 И v' am — vyi — (смещение в красную сторону).— Примеч. ред.
ГЛАВА Il
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 7. Четырехмерный мир (Минковский)
Как было показано в предыдущей главе, постулаты относительности и постоянства скорости света приводят к инвариантности всех законов природы относительно группы Лоренца. Под группой Лоренца мы подразумеваем совокупность всех ос10 линейных преобразований, удовлетворяющих уравнению (II). Каждое такое преобразование может быть составлено из вращения координатной системы (к совокупности которых можно прибавить и отражение) и специального лоренцева преобразования типа (I)*). С точки зрения математики специальная теория относительности является теорией инвариантов группы Лоренца.
Ее основы заложены работами Мипковского [64]**), которому удалось придать этой теории очень изящную математическую форму, используя два обстоятельства.
1. Если ввести вместо обычного времени t мнимую величину и = ict, то формальное поведение пространственных координат и координаты времени будет одинаковым в преобразованиях группы Лоренца и, следовательно,, во всех законах природы, инвариантных относительно этой группы. Действительно, тогда характерный для группы Лоренца инвариант
X2 + у2 + Z2 — c2t2
*) При переходе от преобразования координат к преобразова-пию их дифференциалов смещение начала координат не вызывает преобразования. Об ограничении на допустимые преобразования группы Лоренца, вытекающие из условия действительности, и об изменении знака времени см. § 22.
**) В дальнейшем эти труды цитируются как «Минковский I, II и III».
В качестве предшественника Минковского нужно упомянуть Пуанкаре (Rend. Pal., см. [14]), который вводил мнимую координату и = ict и часто объединял вместе как координаты точки в /?4 величины, сейчас называемые компонентами вектора. Некоторую роль играет в его работах также инвариантное расстояние,
S 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ МИР
41
переходит в
X2 + у2 + Z2 + и2. (18)
Поэтому представляется целесообразным с самого начала не разделять пространство и время, а рассматривать четырехмерное пространственно-временное многообразие, которое мы вместе с Минковскпм кратко будем называть миром.
2. Выражение (18) инвариантно относительно преобразования Лоренца и является квадратичной формой координат, что наводит на мысль рассматривать его как квадрат расстояния мировой точки P (х, г/, г, и) от начала координат по аналогии с соответствующим квадратом расстояния X2 + у2 + z2 в обычном пространстве. При этом в четырехмерном мире вводится геометрия (метрика), весьма родственная евклидовой геометрии. Полного совпадения обеих геометрий, однако, нет вследствие мнимости одной из координат. Например, две мировые точки, находящиеся на нулевом расстоянии друг от друга, не обязательно совпадают. В § 22 это будет разъяснено более подробно. Несмотря на это различие в геометрических свойствах, мы можем, однако, рассматривать лорен-цево преобразование по аналогии с вращением координатной системы в Rz как ортогональное линейное преобразование мировых координат и как вращение (мнимое) мировых осей. И, так же как обычные векторное и тензорное исчисления можно рассматривать как теорию инвариантов линейного ортогонального преобразования координат в і?з, теория инвариантов группы Лоренца принимает форму четырехмерного векторного и тензорного анализа*). Мы можем, таким образом, сформулировать второй важный для теории момент следующим образом: вследствие того, что группа Лоренца сохраняет инвариантной квадратичную форму четырех мировых координат, теория инвариантов этой группы допускает геометрическое представление и оказывается естественным обобщением обычного векторного и тензорного исчисления на случай четырехмерного многообразия.
*) В основном эти идеи содержатся в уже цитированных работах Минковского, однако систематическое изложение их дано впервые Зоммерфельдом [65].
42
ГЛ. II1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 8. Более общие группы преобразований
Чтобы развить здесь математический аппарат, пригодный и для общей теории относительности, приведем некоторые ее положения.
В общей теории относительности уже нельзя больше определить расстояние между двумя точками, находящимися на конечном расстоянии друг от друга, так просто, как это было сделано с помощью соотношения (18). Однако и в этом случае квадрат расстояния ds2 между двумя бесконечно близкими точками можно представить в виде квадратичной формы дифференциалов координат. Обозначим координаты не х, у, z, и, а х2, Xs', Xі или, короче, х\ а коэффициенты квадратичной формы — gih. Опустим (по Эйнштейну) зпак суммирования, приняв раз навсегда, что производится суммирование от 1 до 4 по каждому индексу, встречающемуся дважды. Мы мо-* жем написать поэтому:
ds2 = gikdx'dx* (gik = gki). (19)
Суммирование справа производится так, что индексы і и к пробегают значения от 1 до 4 независимо друг от друга. Комбинации г, к, в которых і Ф к, встречаются поэтому в (19) по Два раза, комбинации, в которых A =/,— только по одному разу. Это приводит, например, к тому, что при дифференцировании квадратичной формы
