Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
58
ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
кривой, заданной уравнением
хА = к = I1 2, га,
где t — какой-нибудь параметр. Результаты математического исследования можно будет применять к многообразиям, с которыми приходится иметь дело в действительности лишь после того, как длина s будет физически определена. В Rz мы должны во всяком случае представить себе твердый масштаб замененным идеально гибкой измерительной нитью.
Таким образом, нам нужно сделать относительно s(t) какие-либо приемлемые предположения. Поскольку подобные предположения делаются относительно ds/dt, а не относительно S1 риманова геометрия является дифференциальной геометрией, в противоположность евклидовой геометрии, геометрии в целом. В качестве первой аксиомы мы примем следующую.
Аксиома I. Величина ds/dt в данной точке кривой зависит только от производных dxk/dt в этой точке и не зависит от высших производных и от остального хода кривой.
Так как длина дуги s не зависит от выбора параметра t, то ds/dt должна быть однородной функцией первой степени от величины dxh/dt. За расстояние между двумя точками мы примем длину дуги кратчайшей из соединяющих их линий. Назовем одну из таких линий перпендикулярной к другой, если расстояние между какой-нибудь точкой P линии 1 и точкой пересечения S обеих линий меньше, чем расстояние от P до любой другой точки Q линии 2. Согласно аксиоме I это обстоятельство зависит не от положения точки P на линии 1, а только от производных (dxk/dt)x и (dxk/dt')2 в точке S. В этом случае говорят также, что направление 1 перпендикулярно к направлению 2. Вообще говоря, отсюда еще не следует, что и направление 2 перпендикулярно к направлению 1. Вид функции ds/dt мы уточним второй аксиомой.
Аксиома II. Величина ds/dt есть квадратный корень из некоторой квадратичной формы производных ds^/dt:
ds "\f dx' dxh
~dt = ' №I I'
g 13, ПЕРЕХОД К ГЕОМЕТРИИ РИМАНА
59
что можно написать короче в виде
ds2 *= g,kdxidxK. (19)
Это равенство было написано еще в § 8. Аксиома II может рассматриваться как пифагорова теорема для двух бесконечно близких точек. Именно это ограничение области ее применимости характеризует переход от геометрии в целом к геометрии в малом. Вследствие аксиомы II ортогональность двух направлений является взаимной. Обратно, если ортогональность линий всегда взаимна, то элемент линии должен иметь форму (19) [77]. Можно поэтому аксиому II заменить следующей.
Аксиома II'. Если направление 1 в точке P ортогонально к направлению 2, то направление 2 ортогонально к направлению 1.
Если мы положим в оспову аксиому II, то в случае Tl = 2 вернемся к гауссовой геометрии произвольных кривых поверхностей. Подобно тому как эти поверхности можно рассматривать как поверхности в евклидовом пространстве R3, каждое риманово пространство Rn можно рассматривать как подпространство в евклидовом йп(п+і)/2 («(гг+ 1)/2 соответствует числу компонент gik). Однако можно получить все важные для теории относительности геометрические положения и не используя этого факта. Угол (1, 2) между двумя направлениями dxi и бх1 в точке P можно определить точно так же, как и в евклидовом пространстве, только прямые следует заменить бесконечно малыми отрезками. Аналогично с (32) находим, что
,а /(т,.ч
соз (1,2)= —т- (о(>)
V SikdxiClxk V g^xtSxh
Зная линейные элементы по п (п +1)/2 независимым направлениям (т. е. по n(n+i)/2 направлениям, для которых п(п + 1)/2-строчные детерминанты из величин dx'8xh не равны нулю), можно определить gik в любой точке. При произвольном преобразовании координат
хч = х'’(х1, X2, х"), 1=1, 2, п, (57)
дифференциалы dx* преобразуются однородно и линейно: dx4 = al dxh, (58)
60
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
где
a I = OziIdxk, (59)
Обратно:
dxh — OCjft dx'1, (60)
где
a? = SxhJdxi, (61)
Такие лее соотношения имеют место по (22) и (23) для аффинного преобразования координат. Отсюда очевидна связь общей группы преобразований с аффинной группой. Существенным, однако, обстоятельством является то, что OCft не могут быть произвольными функциями координат, а должны удовлетворять условиям интегрируемости
tfctft/ох1 = да\1Bxh (62)
или эквивалентным им обратным соотношениям
да^/дх’1 = да^/дх'1, (63)
В ОДНОЙ же точке Рй OCi могут принимать произвольные значения. До тех пор, пока мы имеем дело с соотношениями между тензорами в одной и той же точке, а не с дифференцированием и интегрированием тензорного поля, можно все тензорные операции аффинной группы непосредственно переносить на тензоры общей группы преобразований. Все это иначе можно выразить следующим образом: в тензорной алгебре риманово пространство в рассматриваемой точке Po можно заменить касательным пространством, которое получается, если положить коэффициенты gik всюду постоянными и равными величинам gik(Po), которые они принимают в римановом пространстве в точке Po- Так как форма c?s2 инвариантна, gik являются ковариантными компонентами тензора второго ранга. Правила перехода к контравариантньтм компонентам g'h, а также правила образования элемента объема dh могут быть также взяты из тензорной алгебры.
