Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
о процессе распространения света. Вообще говоря, синхронизация часов возможна и другими методами: с помощью переноса часов из одного места в другое, с помощью упругой связи и т. д. Мы должны потребовать только, чтобы при подобной синхронизации не получалось никаких неразрешимых противоречий с синхронизацией часов посредством световых сигналов.
Теперь мы в состоянии вывести формулы преобразования, связывающие координаты х, у, z, t и х\ у', г', t' двух систем К и К', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. За ось х выберем направление диижепия и при этом так, чтобы система /{' двигалась относительно системы К со скоростью v в положительном направлении оси х. Все авторы начинают интересующий нас вывод с требования линейности формул преобразования, которое можно обосновать тем, что движение, равномерное и прямолинейное в системе К, должно быть таким же и в системе К' (при этом считается само собой разумеющимся, что конечные значения координат в системе К остаются конечными и в системе К'. Подразумеваются также однородность пространства и времени и справедливость евклидовой геометрии).
g 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
25
Вследствие обоих принятых постулатов уравнение
Это возможно в силу линейности преобразования, только если
где к — ггостояпная, зависящая от v. Если учесть также, что любое движение, параллельное оси х, после преобразования должно оставаться параллельным этой оси, то отсюда на основапии элементарных соображений следуют формулы (1). Теперь нужно еще особое рассуждение, для того чтобы показать, что к = 1. Эйнштейн проводит это доказательство, применяя преобразование (1) еще раз (на этот раз к А"), и при этом с обратной скоростью:
х" = k{v)k(—v)x; у" = и(у)и(—v)y\ z" = к (v)X (—v)z; t" = x(v)k(—v)t.
Так как система К" покоится относительно К и, следо-вательно, идентична с нею, должно иметь место равенство
х(и)и(—и)= 1.
Как отмечено в § I, %(v) равно изменению поперечных размеров тела и не должно, следовательно, из соображе-ний симметрии, зависеть от направления скорости. Поэтому k(v)=x(—v), откуда в сочетании с предыдущим равенством следует, что %(v)= 1, поскольку у. должно быть положительным.
Пуанкаре пришел к этому выводу похожим путем. Он рассмотрел множество всех преобразований, переводящих уравнение (2) само в себя (это множество естеся-
X2 + уг + Z2 — A2 «** О влечет за собой уравнение
х'2 Jr у'2 _|_ 2'2 — СЦ'2 __ 0_
(2')
(2)
(х'% -F у'2 -F Z2 — А'2) = к (х7 + у2 + Z2 — A2У,
Отсюда
26 ГЛ. I, ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
венным образом образует группу), и потребовал, чтобы эта группа содержала б качестве подгрупп:
a) однопараметрическую группу перемещений параллельно оси х (в качестве параметра фигурирует скорость v);
b) обычные вращения системы координат.
Отсюда опять следует, что я = 1, поскольку требование Эйнштейна к(и)=х(—v) содержится в b). В итоге
мы приходим к вполне определенным формулам преобразования:
_ .Х Ь1—- y' i' = 2; 1' = 1 — (v/c) X ^
/і-р* Zi-P2
х’2 + у'2 z'2 _ с2?'2 — х2 у2 Jr z2 _ ?2^2^
Преобразования, обратные (I), получаются заме-
ной V -*¦ —v:
х/-v%' , , . (' 4- (р/с2) х' /т .
X = , у = у ; z = г ; Ї = T.4 - *). (Ia)
Zi-P2 Zi-P2
Простое строение формул (I) делает естественным вопрос о возможности их получения из общих теоретикогрупповых соображений, без требования инвариантности
*) Для некоторых применений нужно знать также формулы преобразования в общем случае, когда ось х не параллельна скорости движения. Эти формулы получаются, если разбить г на компоненту г и, параллельную скорости v относительного движения систем К и К', и компоненту гх, перпендикулярную К V. Из (1) следует
- Г" ~Vt ¦ г' _ г ¦ IrIl I -
rII , Г--------,I ri!l rJ,! ‘ -,Г----„ »
V1 - Pj V і — Pa
в силу соотношений
(rv) V , (rv) V , ' /
ГІІ =——; Tit= г — г, =г--------------------а-; г = ru + гА
V V
полученные формулы можно записать и в таком виде:
,2 Zi -ра J Zi-р2’
, _ г — (іIc2) (rv) (Ia)
ZHTF2 *
Эти формулы получены Герглотдем [38].
§ 5. ЛОРЕНЦЕВО СОКРАЩЕНИЕ И ЗАМЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ 27
уравнения (2). В какой мере это возможно, показывают работы Игнатовского и Франка и Роте [39]. Если предположить, что:
1) преобразования образуют однопараметричсскую однородную линейную группу,
2) скорость системы К относительно К' равна с обратным знаком скорости K1 относительно К,
3) сокращение масштаба, покоящегося в К', с точки зрения наблюдателя в К, равно сокращению масштаба, покоящегося в К, с точки зрения наблюдателя в К', то можно показать, что формулы преобразования должны иметь вид
= = (3)
Vl-av* Vl-Ocv2
Относительно знака, величины и физического смысла а сказать на основе высказанных положений ничего нельзя. Таким образом, из теоретико-групповых соображений можно получить лишь внешний вид формул преобразования, но не их физическое содержание. Заметим, что из (3) вытекают, если положить а = 0, формулы преобразования обычной механики:
