Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 10. Геометрическая интерпретация
контра- в ковариантных компонент вектора *)
Геометрически можно представить вектор в виде отрезка и назвать его поэтому линейным тензором. Его контравариантными компонентами являются параллельные проекции этого отрезка на координатные оси. Если начальную точку вектора поместить в начале координат, то эти проекции будут представлять собой координаты конечной точки вектора. Последние же на основании предыдущего параграфа ведут себя при переходе к новой системе координат как контравариантные компоненты вектора. Как и в пространстве трех измерений, можно представить сумму двух векторов диагональю параллелограмма.
*) В этом параграфе мы придерживаемся изложения Гее-сенберга [72].
I IO1 КОНТРА- В КОВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ 49
Мм должны теперь ввести понятия длины и угла. Будем исходить при этом из декартовой (ортогональной) системы координат (Хь Х2, Х3, X4). В ней квадрат длины некоторого вектора х с компонентами Xi определяется формулой *]
X2 = 2 Xf (30)
і
и два вектора называются ортогональными, если
(ху) = 2 XiYi (31)
І
равно нулю. Величина (ху) называется скалярным произведением векторов х и у. Инвариантность этого определения относительно ортогональных преобразований следует из инвариантности (30) и из соотношения
(^x + р,у)2 = X2X2 + (ух) + р,2у2.
Так как это — форма, положительно определенная относительно X и ц, то
(ху)2 — х2у2 <0,
причем знак равенства относится к случаю параллельности х и у, т. е. к случаю, когда х = ау. Вследствие этого мы можем определить угол между двумя направлениями соотношением
COS (х, y) = (xy}/Yx2yV (32)
Геометрический смысл скалярного произведения такой же, как в трехмерном пространстве: оно равно ортогональной проекции вектора х на направление у, умноженной на длину у. В этом можно непосредственно убедиться, выбрав ортогональную систему координат так, чтобы одна из осей совпадала с направлением у, что всегда возможно.
Чтобы найти теперь выражения для длин и скалярного произведения векторов в любой косоугольной системе координат, охарактеризуем эту систему четырьмя базисными векторами еА (A = I1 2, 3, 4), контравариантные
*) При этом мы пока принимаем, что в (30) все квадраты имеют положительный знак и координаты вещественны. К отличному от этого случаю пространственно-временного мира мы вернемся в § 22,
4 в, Паули
50
ГЛ. II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
координаты которых в этой системе равны Єї =(1, Ot 0, 0), ег = (0, 1, 0, 0),
(33)
е3 = (0, 0, 1, 0), C1= (0, 0, 0, 1).
Их длины в общем случае отличны от единицы. Таким образом, хотя длина вектора будет измеряться единым масштабом по всех координатных системах, проекции его на оси, вообще говоря, даже для разных осей одной и той же системы коордиттат будут измеряться различными масштабами. Тогда каждый вектор х может быть пред-ставлен в форме
X==XkCh. (34)
Следовательно, длина и скалярное произведение равны
X2 = (XtQi) (xkek) = (e.ejX1Xh = gIkXiXk, (35)
(ху) = (х*ек) {ykeh} = (etek)x'yh = gihxY, (36)
где
gih ~ (®>е*) • (37)
Из равенства (37) можно усмотреть геометрическое значение величин
Введем теперь четверку векторов eft, взаимных четверке векторов е*. Она определяется соотношениями
(е*?) = б?, (38)
т. е. векторы е* перпендикулярны к подпространствам, образуемым соответствующими тремя векторами et, и их длины к тому же определенным образом нормированы. Если мы теперь обозначим Xi параллельные проекции х на взаимные оси, измеренные в соответствующих масштабах, то
х = xhel. (39)
Чтобы получить соотношение между Xi И Xі, умножим равенство
xhe*k «= (39а)
скалярно на Є(. Учитывая (37) и (38), получаем
Xi = gi*.x\
(40)
I 10, КОНТРА- И КОВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ
51
Другими словами, параллельные проекции вектора х на взаимные оси, измеренные в единицах масштаба, соответ-ствующих этим осям, являются ковариангными координатами вектора*). 13 то же время, умножая (39а) скалярно на ej, ыаходим
Xі = (е?е*) Xh
и, так как х{ = g<hxk, то
** - (е*еО, (41)
Образуя квадраты выражений (34) и (39), а также перемножая эти выражения, получаем
X5 = gHlXiXh = gikXiXk = XlXi. (35а)
Аналогично,, образуя скалярное произведение векторов
X = xkeh = xhe*k и у = yheh = yhe*k,
находим
<ху) = gittfy* = g<hx,yh = Xiyi = Xі у і. (36а)
Остается установить поведение базисных векторов е( при преобразовании координат. Если — базисные векторы новой (штрихованной) системы координат, то для любого вектора х имеем
/І * і
X = X е* = XnQh-
Из соотношений (22) и (23) следует, что
ej = otjCft, (42)
eft = ale'u (43)
*) У Риччи и Леви-Чивиты, а также у Ланга (см. [67—691) ковариантные компоненты вектора иитернретировапы как ортогональные проекции воктора на обычные оси. При этом, однако, необходимо добавить еще множитель, нарушающий простоту и симметрию формул. Из (39) скалярным умножением на е< мы получим Xt «* (ej*). На основании (37) ортогональная проекция х яа С; равна