Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Паули В. -> "Теория относительности " -> 16

Теория относительности - Паули В.

Паули В. Теория относительности — М.: Наука, 1991. — 328 c.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка): teoriyaotnositelnosti1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 110 >> Следующая


§ 10. Геометрическая интерпретация

контра- в ковариантных компонент вектора *)

Геометрически можно представить вектор в виде отрезка и назвать его поэтому линейным тензором. Его контравариантными компонентами являются параллельные проекции этого отрезка на координатные оси. Если начальную точку вектора поместить в начале координат, то эти проекции будут представлять собой координаты конечной точки вектора. Последние же на основании предыдущего параграфа ведут себя при переходе к новой системе координат как контравариантные компоненты вектора. Как и в пространстве трех измерений, можно представить сумму двух векторов диагональю параллелограмма.

*) В этом параграфе мы придерживаемся изложения Гее-сенберга [72].
I IO1 КОНТРА- В КОВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ 49

Мм должны теперь ввести понятия длины и угла. Будем исходить при этом из декартовой (ортогональной) системы координат (Хь Х2, Х3, X4). В ней квадрат длины некоторого вектора х с компонентами Xi определяется формулой *]

X2 = 2 Xf (30)

і

и два вектора называются ортогональными, если

(ху) = 2 XiYi (31)

І

равно нулю. Величина (ху) называется скалярным произведением векторов х и у. Инвариантность этого определения относительно ортогональных преобразований следует из инвариантности (30) и из соотношения

(^x + р,у)2 = X2X2 + (ух) + р,2у2.

Так как это — форма, положительно определенная относительно X и ц, то

(ху)2 — х2у2 <0,

причем знак равенства относится к случаю параллельности х и у, т. е. к случаю, когда х = ау. Вследствие этого мы можем определить угол между двумя направлениями соотношением

COS (х, y) = (xy}/Yx2yV (32)

Геометрический смысл скалярного произведения такой же, как в трехмерном пространстве: оно равно ортогональной проекции вектора х на направление у, умноженной на длину у. В этом можно непосредственно убедиться, выбрав ортогональную систему координат так, чтобы одна из осей совпадала с направлением у, что всегда возможно.

Чтобы найти теперь выражения для длин и скалярного произведения векторов в любой косоугольной системе координат, охарактеризуем эту систему четырьмя базисными векторами еА (A = I1 2, 3, 4), контравариантные

*) При этом мы пока принимаем, что в (30) все квадраты имеют положительный знак и координаты вещественны. К отличному от этого случаю пространственно-временного мира мы вернемся в § 22,

4 в, Паули
50

ГЛ. II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

координаты которых в этой системе равны Єї =(1, Ot 0, 0), ег = (0, 1, 0, 0),

(33)

е3 = (0, 0, 1, 0), C1= (0, 0, 0, 1).

Их длины в общем случае отличны от единицы. Таким образом, хотя длина вектора будет измеряться единым масштабом по всех координатных системах, проекции его на оси, вообще говоря, даже для разных осей одной и той же системы коордиттат будут измеряться различными масштабами. Тогда каждый вектор х может быть пред-ставлен в форме

X==XkCh. (34)

Следовательно, длина и скалярное произведение равны

X2 = (XtQi) (xkek) = (e.ejX1Xh = gIkXiXk, (35)

(ху) = (х*ек) {ykeh} = (etek)x'yh = gihxY, (36)

где

gih ~ (®>е*) • (37)

Из равенства (37) можно усмотреть геометрическое значение величин

Введем теперь четверку векторов eft, взаимных четверке векторов е*. Она определяется соотношениями

(е*?) = б?, (38)

т. е. векторы е* перпендикулярны к подпространствам, образуемым соответствующими тремя векторами et, и их длины к тому же определенным образом нормированы. Если мы теперь обозначим Xi параллельные проекции х на взаимные оси, измеренные в соответствующих масштабах, то

х = xhel. (39)

Чтобы получить соотношение между Xi И Xі, умножим равенство

xhe*k «= (39а)

скалярно на Є(. Учитывая (37) и (38), получаем

Xi = gi*.x\

(40)
I 10, КОНТРА- И КОВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ

51

Другими словами, параллельные проекции вектора х на взаимные оси, измеренные в единицах масштаба, соответ-ствующих этим осям, являются ковариангными координатами вектора*). 13 то же время, умножая (39а) скалярно на ej, ыаходим

Xі = (е?е*) Xh

и, так как х{ = g<hxk, то

** - (е*еО, (41)

Образуя квадраты выражений (34) и (39), а также перемножая эти выражения, получаем

X5 = gHlXiXh = gikXiXk = XlXi. (35а)

Аналогично,, образуя скалярное произведение векторов

X = xkeh = xhe*k и у = yheh = yhe*k,

находим

<ху) = gittfy* = g<hx,yh = Xiyi = Xі у і. (36а)

Остается установить поведение базисных векторов е( при преобразовании координат. Если — базисные векторы новой (штрихованной) системы координат, то для любого вектора х имеем

/І * і

X = X е* = XnQh-

Из соотношений (22) и (23) следует, что

ej = otjCft, (42)

eft = ale'u (43)

*) У Риччи и Леви-Чивиты, а также у Ланга (см. [67—691) ковариантные компоненты вектора иитернретировапы как ортогональные проекции воктора на обычные оси. При этом, однако, необходимо добавить еще множитель, нарушающий простоту и симметрию формул. Из (39) скалярным умножением на е< мы получим Xt «* (ej*). На основании (37) ортогональная проекция х яа С; равна

Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed