Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
J = SikUiUk по Ui получается
dJldu* = 2gihu\ (20)
что соответствует теореме Эйлера
u'dlldu* = 2/.
В выражении (19) g(k, вообще говоря, могут быть произвольными функциями координат. Соответственно общая теория относительности после того, как величины gik определены, имеет дело с теорией инвариантов группы всех точечных преобразований
x'h =^xfk(х1, X2, Xs, ж4)'.
Следуя эрлангенской программе Клейна [66], мы даем следующий перечень важнейших для физики групп преобразований, отчасти дополняя сказанное выше. Каждая
§ 8, БОЛЕЕ ОБЩИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
43
введенная в нем группа (за исключением В') содержит предыдущую в качестве подгруппы.
A. Группа линейных ортогональных преобразований (группа Лоренца), которая оставляет инвариантным квадрат расстояния
S2 = х\ + х2 X3 "Н
Неоднородные преобразования можно при этом по желанию причислять к группе или нет. Если определить ло-ренцеву группу как группу линейных преобразований дифференциалов координат, при которых остается инвариантным квадрат расстояния бесконечно близких точек
ds2 = dx\ + dx 2 + dx\ + dx\,
то она будет состоять из °°6 однородных преобразований. Для некоторых приложений, однако, важны именно смещения начал координат. Необходимо также различать группу собственно ортогональных преобразований с функциональным определителем, равным +1, которые непрерывно могут переходить в тождественное преобразование, и охватывающую ее группу, содержащую также связанные с отражениями несобственные ортогональные преобразования с определителем, равным — 1.
B. Аффинная группа, содержащая все линейные пре^ образования.
В'. Группа аффинных преобразований, которая сохраняет неизменным уравнение светового конуса
х\ -H х2 -H X3 -Ь Xi = 0.
При этом
/2 / 2 /2 /2 / 2 2 , 2 , 2\
+ X2 +X3 + Xi — P (^1 + X2 + X3 Xi),
где р — произвольная функция координат. О применении этой (конформной) группы к уравнениям Максвелла и о ее роли в теории гравитации Нордстрема см. § 28 и 65, S.
C. Проективная группа дробно-линейных преобразований. Она играла большую роль в ранних исследованиях математиков по неевклидовой геометрии. Для физиков эта группа не так важна (см., однако, § 18).
D. Группа всех точечных преобразований, сохраняющих инвариантной дифференциальную форму (19). Teo-
44
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
рitя инвариантов этой группы представляет собой тензорное исчисление общей теории относительности.
Е. Более общая группа Вейля (см. гл. V, § 65).
§ 9. Тензорное исчисление в аффинной геометрии *)
Чтобы избежать различного написания одних и тех же формул в специальной и общей теории относительности, мы сразу не будем ограничивать себя ортогональными преобразования ми п положим в основу наших рассуждений группу аффинных преобразований. Геометрически это означает, что мы будем рассматривать косоугольные (но не криволинейные) системы координат. Коэффициенты gik при этом постоянны, но не нормированы условием gik = б;, имеющим место в ортогональных координатах. Что касается величин <si, то они определяются следующим образом:
Тензорное исчисление можно вводить различными способами. Можно, например, интерпретировать компоненты тензора как проекции некоторого геометрического образования или описать чисто алгебраически заданием их поведения при преобразовании координат. Минков-ский рассматривал геометрически только четырехмерный вектор, в то время как введенное им впервые понятие бивектора (или, как он называл его,— вектора второго рода) было определено чисто алгебраически. Работы Зом-мерфельда [65] сделали, однако, геометрический метод господствующим, которым он оставался до тех пор, пока группа Лоренца не была заменена более общими группами преобразований.
В работах Риччи и Леви-Чивиты [fi7], в которых был заложен фундамент тензорного исчисления для общей
*) Кроме перечисленной б § 7 литературы, слодуст отметить [67]. Несколько отличную терминологию употребляют в [68]. Далее см. [69]. Относительно системы взаимных векторов см. также
С. Runge [70], где изложепие ограничено, однако, R3. Далее, см. по поводу следующих разделов [71]. Нужно еще отметить, что изложенное здесь тензорное исчисление аффипиой группы преобразований координат только по терминологии отличается от обычной теории инвариантов алгебраических форм.
(21)
§ 9. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ 45
группы точечных преооразовашш, за исключением попытки иатерпретации ко- я контравариаптиых компонент вектора, нет никаких геометрических рассуждений. Только в последующих работах Гессснберга, Леви-Чивиты и Вейля [72, 78—80] спова более подчеркивается геометрическая сторона вопроса. Такой подход к проблеме в полной мере характерен и для диссертации Ланга [69]. Чисто алгебраическое изложение предпочтительно из-за простоты, геометрическое же — из-за наглядности. Мы пачнем с алгебраического подхода, однако позднее в отдельных случаях дадим геометрическую интерпретацию рассмотренным понятиям и теоремам.
Величины a Ifcfm"..! в которых индексы независимо друг от друга могут принимать значения 1, 2, 3, 4, называются компонентами тензора, ковариаитного по индексам iklm... и контравариантного по индексам rst..., если при аффинном преобразовании координат
