Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Xw = C(22)
обратным которому будет преобразование
Xh = (23)
(где коэффициенты ос і удовлетворяют соотношениям а*о4 = OCiCXr = б?), (24)
они преобразуются по закону *)
'rst.,, OGX.,. 7ЧГ7и”"Х s /г)г\
В этих выражениях, согласно принятому правилу, производится суммирование по индексам, встречающимся дьаж-ды (об обобщении этого определения на любое преобразование координат см. § 14). Число индексов в компоненте тензора называют его рангом. Тензоры сервого ранга называют также векторами. Простейшим примером последних являются (контравариантные) координаты Xі некоторой точки. Величины 6j, определенные соотноше-
*) Мы считаем правильным заменить исторически более ранние названия «ко- и контраградиентные» на «контра- и ковари-антныр», причем коптравариантпыми называются величины, преобразующиеся так же, как и координаты. Таким образом, мы придерживаемся обычных обозначений, введенных Риччи и Леви-Чивитой и примененных Эйнштейном и Вейлем.
46
гл. її. математический аппарат
еием (21), согласно (24) являются компонентами тензора, ковариавтного по индексу і и контравариангного но индексу к. Кроме того, тензор 6^ обладает тем свойством, что его компоненты имеют одинаковые числовые значения в любых системах координат.
При сложении двух тензоров получается новый тензор того же ранга, при умножении — тензор высшего ранга. Например,
«(+ bi = Ci,
афк = ^
При свертывании, т. е. при суммировании компонент тензора по двум индексам, из которых один — ковариант-ный, а другой — ковтравариантный, получается тевзор низшего ранга. Так, из тензора второго ранга t\ получается инвариант t <=> t\. Можно также комбинировать умножение и свертывание. Например, образуем сначала путем умножения и Ь1 тензор
Si = аф\
а затем свертыванием полупим инвариант
S = Sjf
Его можно было получить непосредственно из я, и Ь‘ путем операции
s — агЬ\
Подобным же образом можно получить из тензора второго ранга aih и векгора Xі вектор
у і = aihxh и инвариант J ~ алх{х*.
Примененные здесь правила допускают обращение. Так, если OiXi является иавариавтом при любом векторе Xі, то Ui суть ковариантныв компоненты вектора. Если aik = аы и UlkXiXk есть инвариант при любом векторе Xil то а'* суть компоненты тензора второго ранга, и т. д. Обобщение этих положений на тензор любого ранга получается ве* посредственно.
I в, ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ 47
Тензор называется симметричным (соответственно, анти- или кососимметричным) относительно индексов і и к, если при перестановке этих индексов его компоненты не изменяются (соответственно меняют знак), например, = (соответственно «а = —яйі)- Легко убедиться, что это свойство не зависит от выбора координат. Однако существенно, чтобы индексы і и к были либо оба верхние, либо оба нижние.
Величины gik, введенные в (19), образуют тензор, что следует из инвариантности gihxixh*). Этот тензор имеет важнейшее значение как для геометрии, так и для физики и называется фундаментальным (или метрическим) тензором. G помощью gih можно получить новые тензорные компоненты следующим образом. Образуем вначале детерминант g из gih:
получим 10 величин g,h (glk = gh‘), которые удовлетворяют соотношениям
Докажем, что g'4 являются контравариантными компонентами тензора второго ранга. Действительно, из конт-равариантных компонент вектора ah путем умножения на gik и последующего свертывания получаются ковари-антные компоненты вектора
Разрешая эти уравнения относительно яь, получаем
Так как компоненты ah полностью произвольны, тензорный характер g,k вытекает из приведенной выше теоремы.
Мы называем величины а{ и а’ ковариантными и контравариантными компонентами одного и того же вектора. Аналогичным образом можно определить опускание или
g=< Igftl.
(26)
Затем разделим миноры, соответствующие на g. Мы
Siagha = ь\.
(27)
(26а)
(28)
af = gthah.
*) В аффинной геометрии обе точки, квадрат расстояния между которыми определен формулой gikx'xh, не должны быть обязательно бесконечно близкими (см. следующий параграф).
48
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
поднятие индексов и для тензоров высших рангов и рассматривать полученную таким образом систему величин как совокупность компонент того же тензора. Так,
Gift = ?irghsQ-r> =* girdk, /001.4
ь (2оЬ)
aih g”gbs<zrll = girar,
Поднятие и опускание индексов не меняют соотношения между тензорами. Необходимо только, чтобы при свертывании суммирование всегда производилось по паре индексов, один из которых верхний, а другой — обязательно нижний, например,
J = (цЬг = а'Ьї, с і = aihbh = а\Ьк; с1 = alhbh - а\Ьк,
(29)
Этим исчерпываются правила тензорной алгебры. Тензорный анализ, т. е. правила, по которым из тензоров путем дифференцирования по координатам получаются новые тензоры, является для аффинной группы следствием тензорной алгебры, так как операторы д/дх* во всех отт ношениях формально ведут себя как ковариантные компоненты некоторого вектора. Определение и геометрическая интерпретация этого оператора могут быть даны лишь при изложении тензорного исчисления общей группы преобразований.
