Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
(det IeiI)2 = det Iei • е„| = det Igrik! = g;
(det |et|)2 = det IeJ-Cft I = det |gift I = I/g,
Таким образом, инвариантный объем равен
S — det I x(i)k I- Vg = det I х(кг) I • (51)
Так как четырехкратный интеграл
J dx1 dx2 dx3 dx4,
который для краткости мы будем записывать в виде J dx, при переходе к новой системе координат преобразуется как det IzwM1 объем какой-либо произвольной области
I 11, БИВЕКТОРЫ И ТРИВЕКТОРЫ
65
равен, по (51),
'L=IVgdxt (52)
Если интеграл J Wldx
инвариантен, то по Вейлю [74] SDl называется скалярной плотностью. Она образуется умножением обычного скаляра на Ig.
Аналогично этому векторная плотность с компонентами Oli определяется условием, что интегралы IniVa. (по бесконечно малой области) образуют компоненту векто-pa. В подобном же смысле мы говорим а о тензорной плотности. Она также получается умножением обычного тензора на Ig.
Введенная в § 9 систематика тензоров не принимает во внимание симметрии компонент тензоров. Мы, однако, видели, что, например, антисимметричный и симметричный тензоры второго ранга в геометрическом отношении совершенно различны. В тензорном анализе это различие обнаружится в новом аспекте (см. §§ 19 и 20), Рекомендуется поэтому по примеру Вейля [75] и в согласии с терминологией грассмановского учения о протяжен-ности ввести наравне с ранее примененной и новую систематику тензоров. Образуем, как в (44) и (49), ряды величин %<ы, ... Тензоры первого порядка (линей-
ные тензоры) первого, второго, третьего... рангов возникают из линейных, квадратичных, кубичных.., форм одного смещения If:
віГ, a*%V, OtuIVV, •••
Точно так же тензоры второго порядка (бивекторы) возникают из форм
ЫЛ, ...
Чтобы коэффициенты однозначно определялись формой, они должны удовлетворять известным условиям нормировки; aih, Ом, ••• должны, например, при перестановке двух любых индексов оставаться неизменными, bik должны быть антисимметричны, компоненты ЪШт бивектора
бб
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
второго ранга (см. примеч. 5) должны удовлетворять соотношениям
[последнее следует из соотношений (46) ]. Таким бивектором второго ранга является тензор кривизны (см. § 16). Число независимых компонент отого тензора в пространстве п измерений понижается на основании (53а) и (53Ь) до п2(п2—1)/12. Изложенная здесь систематика не охватывает всех величин, которые по сформулированному в § 9 определению являются тензорами. Ho в физических приложениях играют роль только такие тен-воры, которые включены в эту систематику.
§ 12. Дуальные тензоры
В четырехмерном многообразии каждой площадке
можно сопоставить нормальную площадку такую, что все прямые, лежащие в ней, перпендикулярны ко всем прямым, лежащим в первой площадке. Мы назовем ее дуальной к если она, кроме того, равна последней по величине. Она определяется в виде
Простой расчет показывает, что компоненты \*Л получаются из компонент Iift путем образования четной пере-
(53а);
(53Ь)
— х*ну*\
где векторы х*\ у*{ перпендикулярны К Xі, у1: XiXi = 0; х*у1 = 0; у* Xі = 0; у\у{ = 0.
Аналогично, меняя местами |*lfI и имеем
§ 13, ПЕРЕХОД К ГЕОМЕТРИИ РИМАНА
57
При помощи таких же соотношений сопоставляют любому бивектору І’" ему дуальный. Умножение бивектора на дуальный ему бивектор с последующим свертыванием дает на основании (48) инвариант чрезвычайно простой структуры:
/ = 4- = GuSm + + І1Д23). (46а)
Точно таким же образом тривектору сопоставляют дуальный вектор |*!. Он представляет собой отрезок, который перпендикулярен ко всем образующим параллелепипеда, определяющего тривектор. Длипа этого вектора равна объему параллелепипеда. Для любой четной перестановки индексов Hdm имеет место равенство
= Im = VgVhl* (55)
§ 13. Переход к геометрии Рішана
Перейдем теперь к изложению теории инвариантов группы всех точечных преобразований. Для этого необходимо сначала рассмотреть определение длины и основные положения общей геометрии Римана. Старые геометрии Болиаи и Лобачевского, отказываясь от евклидова постулата о параллельных прямых, сохраняли аксиому о свободном движении твердой системы точек (аксиома конгруэнтности) и являлись, таким образом, геометриями пространства с постоянной кривизной. Исходя из проективной геометрии, также нельзя прийти к метрике более общего вида. Возможность построения ее впервые была рассмотрена Риманом [76]. Изменения представлений о твердом теле, вносимые специальной и общей теорией относительности, привели к отказу от казавшейся до тех пор очевидной аксиомы конгруэнтности и к необходимости в основу рассуждений о пространстве и времени положить общую геометрию Римана.
Предположим, что в конечной окрестности каждой из точек многообразия, которое мы рассматриваем (и которое иногда для краткости будем называть пространством), может быть введена однозначная и непрерывная система координат X1t X2, ..., хп. Относительно всего многообразия, однако, мы не высказываем этого предположения. Число измерений многообразия п оставим пока произвольным. Исходным понятием метрики является длина S
