Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 14. Параллельный перенос вектора
Для геометрического обоснования тензорного исчисления в римановом пространстве понятие параллельного переноса векторов является одним из основных. Впервые
I 14. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА
61
оно было введено Леви-Чивитой [78], который при этом рассматривал риманово пространство Rn как поверхность в евклидовом пространстве (см. предыдущий
параграф), затем Вейль [79] дал непосредственное его определение. Позднее Вейль ввел аксиоматически это понятие для пространства, в котором даже не определена метрика (см. гл. V) [80].
Пусть имеется кривая
Рассмотрим в каждой ее точке P совокупность всех выходящих из нее векторов. Из всех отображений
совокупности векторов в Po(fo) на совокупность векторов в P(t) нужно выбрать иивариантным образом некую специальную группу отображений, которые можно было бы назвать параллельным переносом, или трансляцией. При этом нельзя просто постулировать, что два параллельных вектора в двух точках, отстоящих друг от друга на конечном расстоянии, имеют одинаковые компоненты, так как такое определение неинвариантно относительно выбора системы координат. Вместо этого свойства трансляции нужно сформулировать так:
I. В каждой точке P имеется такая система координат, в которой равно нулю изменение компонент вектора при бесконечно малой трансляции вдоль всех исходящих из P кривых, т. е. в которой для точки P
То, что с помощью преобразования координат удается устранить бесконечно малые изменения компонент векторов одновременно для всех кривых, выходящих из точки Р, связывает между собой параллельные переносы вдоль различных кривых. Простое рассуждение показывает, что изменение компонент вектора в произвольной системе координат вследствие требования 1 должно иметь вид
Xh = Xh (t)
о
dgldt = 0.
dl ri dxs
dt ~ lrs dt
(64)
где r*s зависят только от координат, но не от dx'ldt, и симметричны относительно перестановки нижних
62
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
индексов:
(65)
Обратно, можно показать, что требование 1 выполняется, если верны соотношения (64) и (65). При линейном преобразовании координат TJs ведут себя как компоненты тензора. Однако это верно только для линейного преобразования, а не для общей группы преобразований.. Последнее видно уже из того, что величины Fr8 можно в некоторой системе координат обратить в нуль, тогда как компоненты тензора равны нулю во всякой системе координат, если они исчезают в одной какой-нибудь системе, так как они преобразуются линейно и однородно.
Определим еще величины Fi.rj при помощи соотношений
Определение параллельного переноса будет завершено вторым требованием (см. примеч. 6).
2. Трансляция есть конгруэнтное отображение, т. е. она оставляет неизменной длину вектора:
Этим величины TJs связываются с фундаментальным метрическим тензором. Простым следствием требования 2 является неизмеппоетъ угла между векторами при параллельном переносе. Из того, что (64) и (67) должны удовлетворяться при произвольных I', следует, что
Величины T1rs получаются по (66). Кристоффель в своей
(66)
і Ы‘|‘) - і (SfIi) - 0.
(67)
д?іГ
дх3
(68)
и
(69)
работе [81]*) впервые ввел величины П, и I\rs. Он записывал их при помощи символов
*) Упомянутая работа Римана была написана для парижского конкурса в 1861 г. и впервые была опубликована в первом издании собрания трудов Римана (Ges. Werke1 1-е изд., с. 370),
§ 14. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА
63
rs
і j вместо Г^г*. Часто эти величины называют символами
іїристоффеля второго и первого рода.
Вейль [82] назвал их компонентами аффинной связности, так как бесконечно близкий перенос по (64) представляет собой аффинное отображение векторов. В этой книге они будут называться коэффициентами связности данной координатной системы. Координатная система, в которой они исчезают в точке Р, называется геодезической в точке Р,
Из инвариантности IiT]* при любом if получаются на основании (64) формулы преобразования для ковариант-ных компонент Ii:
Дифференцируя (26) и (27), получаем соотношения
_-prdxs _ г dxs tr
dt — is dt r'is dt S ’
(70)
и, наконец, из
следует тождество
(71)
dg<h = —girgh'dg,,\ dgik = —girgh,dgr’]
,(72)
(72a)
и
dg = gg'kdgih = — gglkdgik;
(73a)
Из (69) свертыванием получим
!_ 9Vj _9!°g Vi
g дхi Sxi
и затем, на основании (71),
(75)
64
ГЛ, II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 15. Геодезические линии
Направление кривой Xh = Xi(I) в какой-либо точке P характеризуется вектором и1:
Ui = IlxiIds (s — длина дуги). (76)
Этот вектор касается кривой в точке Р, и длина его равна 1, так как
і dx dx я
UiU'= gik—s Ts ~ і, (77)
Геодезической линией называется кривая, направление которой во всех точках постоянно [83]. Другими словами, если в некоторой точке Po геодезическая линия имеет касательный вектор и\ то касательный вектор к этой линии в других точках получается параллельным переносом вектора Ui вдоль нее. По (64) и (70) это можно выразить аналитически следующим образом:
