Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
?*-Г (78)
или (что эквивалентно),
^-TirsUWt (79)
Последнее равенство можно представить в виде
d х і -pi dx dx « і
17+r-d7d7=0* (8°)
Соотношения (80) представляют собой дифференциальные уравнения геодезической линии. На основании (80), обратно, вследствие инвариантности длины вектора при параллельном переносе следует, что
dx^ dx^ . /чч \
^lTs -Ц =COnSt’ <77а)
т. е. (80) справедливо только для такого параметра s, который с точностью до постоянного множителя равен длине дуги.
Геодезические линии могут быть определены также при помощи вариационного принципа. Именно, они эквивалентны упомянутым в § 13 «кратчайшим» линиям, или, точнее, «экстремалям» [84], для которых вариация длины кривой равна нулю (последнее необходимо, но недостаточно для минимума). Действительно, пусть А и
§ 15. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
65
В — фиксированные начальная и конечная точки, s — длина дуги, X —- любой параметр; покажем, что для геодезической линии
gih при этом — заданные функции координат Xі. Варьируются ЛИШЬ фуНКЦИИ Xk = Xh(X).
Проделаем над (81) известное из механики преобразование*). Для этого мы выбираем параметр X таким образом, чтобы на экстремалях он совпадал с длиной дуги s и пробегал всегда ту же область значений. В окончательных дифференциальных уравнениях можно будет тогда X заменить на s. Положим, что
и так как для экстремали выражение в знаменателе равно 1, вместо (81) можно просто написать
Таким образом, получается полная аналогия с принципом Гамильтона в механике, если рассматривать L как лаграежеву функцию. Написав х' вместо dx4dX = dx'/ds, получим из (83) дифференциальное уравнение **)
*) В механике оно соответствует переходу от принципа наименьшего действия в форме, данной Якоби, к принципу Гамильтона (см. [85]).
**) Б то время как в обычной механике лагранжевы уравнения получаются, если для прострапственпых коордипат допустить все возможные точечные преобразования, сказанное выше показывает, что та же форма уравнений сохраняется и в том случае, если произвольным образом изменять также время; независимой переменной теперь будет, конечно, не t, a s (см. [86]),
В В
(81)
А
А
I dxi dxh
= T 8ih Ixlx'
(82)
Тогда
в
в
в
в
(83)
А
А
AdL dL _______ q
ds дх 1 9x1
(84)
5 В. Паули
ГЛ, II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Так как согласно (20)
долучаєм
JL (
dt \&lk ds
[gih
I &&ts Axr dx*
что совпадает с (78). (В многообразиях, в которых форма ds2 не дефинитна, приведенный вывод не годится для кривых, на которых ds = 0. Об особенностях этих «нулевых» линий см. § 22.)
§ 16. Кривизна пространства
Понятие кривизны пространства было впервые введено Риманом [76] как обобщение гауссовой кривизны поверхности на случай многообразия п измерений (см. § 17). Однако относящиеся к этому аналитические идеи оставались неизвестными до публикации им парижской конкурсной работы. Эта работа содержит его результаты полностью: как метод исключения, так и вариационный метод. Уже ранее, однако, Кристоффель [81] и Липшиц 187] *) получили те же результаты, исследуя условия возможности преобразования квадратичной формы
gikdxldx* — функции х)
Эта проблема в свою очередь является частным случаем проблемы эквивалентности двух квадратичных дифференциальных форм, которая также была сформулирована Кристоффелом, и заключается в нахождении условий возможности преобразования друг в друга двух форм:
gIhdxi dxh и gihdx11 dx,h,
Эта общая проблема эквивалентности не оказалась, однако, пока существенной для физики. На основании чисто
к виду
*) Последняя работа появилась в печати после опубликования конкурсной работы Римана (см. сноску на с. 62),
S 16. КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВА
67
формального, но очень короткого, по сравнению с кри-стоффелевскнми вычислениями, рассуждения Риччи и Леви-Чивиты [67] пришли к понятию тензора кривизны. К их рассмотрению кривизны примыкает и Эйнштейн [67]. Наконец, Гессенберг [72] и Леви-Чивита [78] дали наглядное геометрическое объяснение этого понятия, связав его с параллельным переносом векторов*).
В § 14 рассматривался все время параллельный перенос вектора вдоль задапной кривой, а не простой перенос вектора из точки P в точку P'. Последний же только в евклидовой геометрии не зависит от пути. Если же в общем случае перенести вектор вдоль замкнутой кривой в начальную точку, то перенесенный вектор |#і будет отличен от начального вектора Iі. На основании этого можно определить тензор кривизны. Пусть задана совокупность кривых
Xk = Xft (щ V),
зависящая от двух параметров. Перенесем произвольный вектор из точки Pm (и, V) через точки Pm (и + Au, у), Pu (и+ Au, у+ A;;)', Poi (и, у + Ау) снова в точку Poo (и, v). Перенос будет происходить поочередно по кривым с постоянным V и кривым с постоянным и. Разница |*ft — = Al* должна быть, очевидно, порядка AuAv,
так как она равна нулю, когда Au или Av равно нулю.
дйЛ
Предел Iim может быть на основании (64) сразу
Ди-»о Av -*0
определен. Он равен
