Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
$ 17, РИМАНОВЫ НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 71
линейного элемента является необходимым и достаточным условием того, чтобы данная система координат ^1* была нормальной. Величины р^ц, представляют собой регулярные функции у и при линейном преобразовании у ведут себя как компоненты бивектора второго ранга (см. примеч. 5) и могут быть определены так [90], чтобы удовлетворять свойствам симметрии (53) этого тензора (см. § И). Тензор кривизны в точке начала координат связан с Phtih очень просто, именно
Rmh, = 3 Рит. (100)
Поэтому тензор Ниц, непосредственно измеряет в этих координатах отклонение геометрии от евклидовой. Риман далее отметил, что в случае пространства двух измерений, линейный элемент которого задается формулой
ds* = Tf Iiffu2 + 2-f 12 du dv + ^22 dv2,
единственная независимая компонента тензора кривизны Й1212 определяет гауссову кривизну поверхности К HO формуле
K=---------*1218 (101)
W22-Vm
Эта формула получается при непосредственном сравнения (89) с гауссовой формулой для К. Если и, v — нормальные координаты поверхности, то линейный элемент ее Имеет вид
оо о
dsг — YIidu1 + 2^12dadv + ^dv2 + л (и, v) (udu — vdu)2
(102);
о
и гауссова кривизна К в Po согласно (100) и (101) равна
к = - .--J1" (103)
Знак К не связан с метрикой самой поверхности. Он имеет историческое проиехождевие и получился при рассмотрении поверхности как вложенной в евклидово пространство трех измерений. Исходя из выражения (99) для линейного элемента, казалось бы, естественнее выбрать обратный знак и, например, кривизну сферы ва-ввать отрицательной.
72
ГЛ. И. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
С помощью нормальных координат можно свести понятие кривизны Rn к кривизне поверхности. Этим способом Риман собственно и пришел впервые к определению кривизны. Пусть заданы два направления, которые определяются векторами и if. Длины этих векторов произвольны. Они определяют линейный пучок направлений
+ T[V
и двумерное направление
г - - 6У.
Вдоль каждого направления пучка построим геодезическую линию, выходящую из Po- Совокупность этих геодезических линий образует поверхность, кривизна которой нас интересует. Линейный элемент поверхности получается из (99) подстановкой
у* = 11U + rfv.
Он имеет форму (102), где
Yn = SihliIh = lit', V12 = 1Itgik (s Y + &У) = EiTii;
У 22 = giftT|V = 1Ii1Ii; 11 = S PhiJklhlVk.
(hiKiV
Отсюда па основании (100) и (103) получается выражение для кривизны
2 RMikWh S KhijklhiVh
_ g __ (M)UЮ________________ ,__________(fti)Cjft)______________
4гьъ11к 2 ^hjgih-ShhSij) Imjh
2 (Ai)CiW
(104)
(индекс 0 опущен).
Полученный результат уже не связан с нормальными координатами (площади |ift, очевидно, выпадают). Каждому двумерному направлению, таким образом, соответствует инвариантная гауссова кривизна, которую по Риману называют кривизной пространства соответствующей данному двумерному направлению (при этом ей приписывают обратный но отношению к (104) зпак). В изложенном выше ЯСНО проявляется то, ЧТО величины Rbiih представляют собой компоненты (см. примеч. 5) битензора второго ранга (в смысле § 11),
e IT, РИМАН0ВЫ НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 73
В связи с выведенной Римапом формулой (104) Герг-лотц [88] показал*), как можно геометрически интерпретировать свернутый тензор кривизны н ипвариант кривизны, Он пришел к следующим результатам. Пусть даны п взаимно перпендикулярных направлений, которые
определяют двумерных направлений. Если K(rs)~
кривизна пространства в двумерном направлении, определяемом г-м и s-м векторами, то инвариант кривизны равен
где суммирование распространено на все комбинации индексов (rs). Сумма не зависит от выбора п направлений и может быть названа средней кривизной Rn в данной точке. Если вектор %' определяет некое направление, которому мы припишем индекс 0, то сумма
определяет свернутый тензор кривизны Rih. Эта сумма также не зависит от выбора п направлений. Эти интерпретации дают геометрическое доказательство тензорного характера Rlk и инвариантности Я, которые ранее были доказаны алгебраическим методом. Если теперь принять направление 0 совпадающим с одним из ортогональных направлений, например с 1, то получается соотношение
Из (105) и (107) следует, что средняя кривизна Rn-\ перпендикулярного к заданному вектором Iі направлению 1 равна
R = 212'?(гв),
(105)
(гг)
2*( 0r)sin2(0,r) = Mj-S
(106)
(107)
*) Интерпретация инварианта кривизны еще до Герглотца встречается у Лоренца [91],
74
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
где
Gik = Rih-l^R. (109);
Этот тензор играет важную роль в общей теории относительности. (Его называют тензором Эйнштейна.)
Упомянем еще простую теорему [92] Фермейля, основанную на выражении (99) для линейного элемента. Объем шара радиуса г в евклидовом пространстве Rn имеет простое выражение
Vn = С„гп,
где С„ — коэффициент, значение которого для нас здесь несущественно. В римановом пространстве Vn — сложная функция г. Если разложить ее в ряд по степеням г и ограничиться только одним членом, следующим за Спгп, получим
