Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10.10]
ДВИЖЕНИЕ СНАРЯДА
193
Члены второго порядка в выражении (10.10.4) после перехода к осям Oxyz запишутся в виде
G (3z'2- p2) = -|-{3(zcos? + .2:sm?)2 — Xі — у2 — z2} =
2а
(10.10.10)
=і { ttV (z+lx)2 -x2 ~y2 -z2}'
где ? = tg?. Это выражение можно записать еще в форме
-^-(1 + е) {2z2-x2-y2+T^=-[2t>zx+t,2(x2-z2)]Y (10.10.11)
Отбрасывая таены второго порядка в выражениях для є ?, получаем
A-(2z2 — x2—y2) + -^{z(2z2 — x2 — y2) + 6&х}. (10.10.12)
Члены третьего порядка в пределах принятой степени точности остаются неизменными при изменении осей, и мы имеем
-^-^"-3^-3^?).
(10.10.13)
Собирая все члены, окончательно получаем
— (х2+ у2 + z2) — со cos 6 (yz — zy) + a> sin 9 (xy — ух) —
— gz±-f- (2z2 — Xі— y2) + і Co2«/2 + -i со2 (z cos Є + x sin 9)2 +
2a v~~ ~ » / і 2 - » ' 2 + {є (2z2 - X2 - y2) + Q&x} - y^- (2z3 - 3^2z - 3y2z). Отсюда находим уравнения движения г — 2со sin 9 у = — — X +¦ со2 sin 0 (х sin 9 + z cos 0) —
(10.10.14)
у + 2co sin 9 .z + 2co cos Oz =
-і-гх+ -?-
„2 ZX>
z — 2co cos 01/:
2g
¦ g +- -^- z + со2 cos 0 (x sin 0 + Z COS 0) +
+ + (2ez + 3?x)-
3g
2a2
(2z2 — x2— y2).
(10.10.15)
Полученные уравнения имеют скорее теоретический, нежели практический интерес, поскольку описывают движение снаряда в пустоте. Сопротивление воздуха оказывает на движение снаряда значительно большее влияние, чем введенные выше малые поправки.
1) Первое приближение, при котором не учитывается вращение Земли и гравитационное поле принимается однородным, приводит к элементарной параболической теории полета снаряда. Уравнения движения в этом случае имеют простой вид:
X = у = 0, z =
(10.10.16)
Если в момент 2 = 0 снаряд вылетает из начала координат со скоростью (и0, v0, W0), то решение имеет вид
X = u0t, y = v0t, Z = W0I —^rgt2.
(10.10.17)
13 л. А. Парс
194
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
[Гл. x
2) Во втором приближении учитываются члены порядка со, а другие малые члены отбрасываются. При этом получаем
X — 2со sin 9 у =. О,
• • • •
у -f - 2со sin 0 х -f - 2со cos 9z =- О,
z — 2со cos 0 у = — g.
(10.10.18) (10.10.19) (10.10.20)
Это — классические уравнения, описывающие движение снаряда относительно вращающейся Земли. Интегрирование уравнений (10.10.18) — (10.10.20) производится достаточно просто. Однако следует помнить, что они приближенные и потому решение их описывает движение лишь с точностью до величин порядка со или, если формула их не содержит, то с точностью до наинизшей степени со.
Прежде чем приступить к интегрированию, отметим еще одно обстоятельство. Форма уравнений позволяет произвести замену независимой переменной и от і перейти KT= cot. При этом со исключается из уравнений, кроме слагаемого g/co2. Решение дает нам х, у, z как функции от т = coZ, и формулы будут содержать в качестве линейных множителей параметры U0, V0, W0, Г, равные соответственно и0/а, v0/(a, w0I(u, g/co2. Переменная coZ безразмерна, а каждый из параметров U0, V0, W0, Г имеет размерность длины.
Перейдем теперь к решению уравнений (10.10.18) — (10.10.20). Из уравнений (10.10.18) и (10.10.20) имеем
X = U0 + 2а>у sin 0, z = w0 — gt + 2сог/ cos 0.
(10.10.21)
Подставляя эти выражения для х и z в уравнение (10.10.19), получаем дифференциальное уравнение относительно у:
у + 4со2г/ = -Отсюда
-2со (и0 sin 0 + W0 cos 0) -f- (2g со cos 0) t.
(10.10.22)
у = -^t sin 2coZ
U0
sin e _|_ cos eJ (i _ cog 2(^t) -
-f-^5-cos9(2coz: — sin2coZ). (10.10.23)
Подставляя теперь найденное у в уравнения (10.10.21) и интегрируя, получаем окончательное решение, выраженное через (at:
\
+ ^в{1^-4-(^81пе+^со8в)^-1Х.со8вд},
* = SiH2(OZ-I(-? sin 0 + ^ cos 0) P +1X cos 0 Q1
(10.10.24)
где
P=I-cos2coZ, О = 2coZ — sin 2coZ, R = 1 — cos 2coZ — у (2coZ)2. (10.10.25) Старшие члены в выражениях для Р, Q, R равны соответственно 2 (coZ)2, I (coz)3, - |(o)04.
§ 10.10]
ДВИЖЕНИЕ СНАРЯДА
195
Рассмотрим два частных случая:
а) Если не все и0, v0, W0 равны нулю, то, сохраняя члены порядка со и пренебрегая членами более высокого порядка, получаем более точное решение, чем (10.10.17):
, X = U0I +(v0 sin 9) cat2,
у = vQt — (u0 sin 9 + W0 cos 9) at2 + у (g cos 9) (at3, 1
z = w0t--к- gt2 + (v0 cos 9) (Ht2.
(10.10.26)
При сравнительно небольших значениях t эти формулы дают вполне достаточную степень точности для большей части приложений. Решение можно выразить также через переменную т:
x = U0x -{- F0t2 sin 9,
у = F0t — (U0 sin 9 + W0 cos 8) т2 + 4 Гт3 cos 9,
z = W0x+ (t/0cos9-yr)t2.
(10.10.27)
Рассмотрим теперь другой способ получения решения (10.10.26), справедливый с точностью до членов порядка со. Уравнение движения в векторной форме имеет вид
г+ 2т x г + <а x (to x г) = д.
(10.10.28)
Чтобы найти приближенное решение, справедливое с точностью до членов порядка со, поступим следующим образом. Отбросив в уравнении (10.10.28) члены порядка со2, будем иметь
